Chaque notion, démontrée pas à pas

Calcul Poser une addition avec retenue La retenue n'est pas un mystère : c'est une dizaine qui déménage. Lire la démonstration → Calcul Soustraire en avançant Pour trouver un écart, pas besoin de reculer : on peut avancer. Lire la démonstration → Calcul Doubles et moitiés sans se tromper Un double se fabrique morceau par morceau. Lire la démonstration →

Calcul Retrouver une table sans tout apprendre par cœur Une multiplication oubliée se reconstruit en deux sauts. Lire la démonstration → Calcul Multiplier un grand nombre par un petit On ne multiplie jamais 34 d'un coup : on multiplie 30, puis 4. Lire la démonstration → Calcul Des faits à connaître par cœur Une table d'addition sert dans les deux sens : pour additionner, et pour retrouver ce qui manque. Lire la démonstration → Calcul Des astuces pour calculer plus vite Pour ajouter 38, j'ajoute 40 puis je retire 2 : c'est plus rapide que d'ajouter 38 d'un coup. Lire la démonstration → Grandeurs et mesures Calculer une durée sans se perdre L'heure pile est un pont : on y passe toujours. Lire la démonstration →

Nombres Lire une fraction sans l'inverser Le bas coupe, le haut prend. Lire la démonstration → Grandeurs et mesures Périmètre ou aire : lequel des deux ? Le périmètre se marche, l'aire se peint. Lire la démonstration → Nombres Lire et décomposer les grands nombres Un grand nombre se lit par tranches de trois chiffres, comme on lit un mot syllabe par syllabe. Lire la démonstration → Calcul Poser une division euclidienne Diviser, c'est distribuer : la potence n'est qu'une façon soignée de compter les parts. Lire la démonstration → Grandeurs et mesures Convertir avant de calculer On n'additionne pas des kilomètres avec des mètres : d'abord la même unité, ensuite le calcul. Lire la démonstration → Calcul Problèmes à étapes : trouver les questions cachées Un problème à étapes cache des questions qu'on ne te pose pas : à toi de les trouver. Lire la démonstration → Nombres Prendre la fraction d'une quantité Un quart d'un gâteau, trois quarts d'une tablette : la fraction commande deux gestes, diviser puis multiplier. Lire la démonstration →

Organisation et gestion de données La proportionnalité : passer par UN Trois croissants, cinq croissants… le détour le plus sûr, c'est UN croissant. Lire la démonstration →

Nombres et calculs 🎮 Quiz Additionner des décimaux : les virgules s'alignent Une virgule mal alignée, et les dixièmes s'additionnent avec les unités. Lire la démonstration → Nombres et calculs 🎮 Quiz Les pourcentages qui se calculent de tête 50 %, 25 %, 10 % : trois divisions déguisées. Lire la démonstration → Nombres et calculs 🎮 Quiz Comparer, encadrer et arrondir des décimaux Deux décimaux qui se ressemblent ne sont presque jamais égaux. Lire la démonstration → Nombres et calculs 🎮 Quiz Multiplier par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 Multiplier par 0,01, c'est simplement diviser par 100. Lire la démonstration → Nombres et calculs 🎮 Quiz Division euclidienne et division décimale Une division ne s'arrête jamais avant que le reste soit plus petit que le diviseur. Lire la démonstration → Nombres et calculs 🎮 Quiz La fraction, un quotient exact 3/4, ce n'est pas seulement trois parts sur quatre : c'est aussi le résultat de 3 ÷ 4. Lire la démonstration → Grandeurs et mesures 🎮 Quiz Le périmètre du disque et l'aire des rectangles Le tour d'un disque se calcule avec un seul nombre magique : pi. Lire la démonstration → Proportionnalité et fonctions 🎮 Quiz Reconnaître et résoudre une situation de proportionnalité Le prix au kilo ne change pas : c'est ça, la proportionnalité. Lire la démonstration → Géométrie 🎮 Quiz Le symétrique d'un point par rapport à une droite Plier la feuille sur la droite : le symétrique tombe exactement sur le point de départ. Lire la démonstration → Géométrie 🎮 Quiz Les angles des triangles particuliers Dans n'importe quel triangle, les trois angles cachent toujours le même total. Lire la démonstration → Données et probabilités 🎮 Quiz Construire et filtrer un tableau de données Un tableau bien construit répond à une question avant même qu'on la pose. Lire la démonstration → Données et probabilités 🎮 Quiz Le vocabulaire des probabilités 0, c'est impossible ; 1, c'est certain : entre les deux, tout est une question de chances. Lire la démonstration → Algorithmique 🎮 Quiz Suivre un programme, écrire une séquence d'instructions Un programme, c'est une recette : dans le bon ordre, chaque instruction compte. Lire la démonstration → Géométrie 🎮 Quiz Mesurer et construire un angle avec le rapporteur Le rapporteur ne ment jamais, à condition de bien placer son centre. Lire la démonstration → Grandeurs et mesures 🎮 Quiz Comparer des volumes Deux solides peuvent sembler différents et pourtant occuper exactement la même place. Lire la démonstration → Nombres et calculs 🎮 Quiz Résoudre un problème à plusieurs étapes Un problème à plusieurs étapes se résout une question à la fois, jamais toutes en même temps. Lire la démonstration →

Nombres et calculs 🎮 Quiz Priorités opératoires, programmes de calcul et diviseurs Un calcul ne se lit pas de gauche à droite : certaines opérations doivent attendre leur tour. Lire la démonstration → Nombres et calculs 🎮 Quiz Nombres relatifs : comparer, additionner, soustraire Sur la droite graduée, chaque signe raconte une direction. Lire la démonstration → Nombres et calculs 🎮 Quiz Fractions à dénominateurs différents et puissances Deux parts ne s'additionnent que si elles sont découpées de la même façon. Lire la démonstration → Nombres et calculs 🎮 Quiz Substituer, développer, réduire et résoudre Une lettre garde la place d'un nombre, jusqu'à ce qu'on la remplace. Lire la démonstration → Géométrie 🎮 Quiz Repérer un point sur une droite et dans le plan Un point se retrouve toujours de la même façon : une abscisse, puis une ordonnée. Lire la démonstration → Géométrie 🎮 Quiz Symétrie centrale et angles Un demi-tour autour d'un point retourne la figure sans jamais la déformer. Lire la démonstration → Géométrie 🎮 Quiz Aire, hauteurs et médianes d'un triangle Un triangle cache trois hauteurs et trois médianes, chacune avec sa propre règle. Lire la démonstration → Géométrie 🎮 Quiz Parallélogrammes : définition, propriétés, aire Un parallélogramme se reconnaît à ses côtés opposés, toujours parallèles et égaux. Lire la démonstration → Données et probabilités 🎮 Quiz Effectifs, fréquences et moyenne Une série de nombres cache toujours une valeur qui les résume tous : la moyenne. Lire la démonstration → Données et probabilités 🎮 Quiz Le vocabulaire et le calcul des probabilités Le hasard se mesure : chaque issue a sa chance, qu'on peut calculer. Lire la démonstration → Proportionnalité et fonctions 🎮 Quiz Reconnaître une situation proportionnelle et son coefficient Dans une situation proportionnelle, un seul nombre suffit à tout retrouver : le coefficient. Lire la démonstration → Proportionnalité et fonctions 🎮 Quiz Pourcentages et échelles Un pourcentage et une échelle sont deux façons différentes de dire la même chose : un rapport constant. Lire la démonstration → Proportionnalité et fonctions 🎮 Quiz Tableaux de valeurs et graphiques cartésiens Un tableau de valeurs et un graphique racontent la même histoire, sous deux formes différentes. Lire la démonstration → Proportionnalité et fonctions 🎮 Quiz La notion de fonction : « en fonction de » et formules Dire qu'une grandeur est « en fonction de » une autre, c'est dire qu'elle en dépend, selon une règle précise. Lire la démonstration → Algorithmique 🎮 Quiz Lire et prévoir un programme simple Avant d'exécuter un programme, on peut déjà prévoir ce qu'il va afficher. Lire la démonstration → Algorithmique 🎮 Quiz La boucle inconditionnelle : répéter une instruction Plutôt que d'écrire dix fois la même instruction, une boucle la répète pour nous. Lire la démonstration →

Nombres et calculs 🎮 Quiz Puissances de 10 et notation scientifique Un exposant négatif ne rend pas un nombre négatif : il le rend petit. Lire la démonstration → Nombres et calculs 🎮 Quiz Carrés parfaits et racine carrée Le carré multiplie un nombre par lui-même ; la racine carrée fait le chemin inverse. Lire la démonstration → Nombres et calculs 🎮 Quiz Structure, développement et réduction d'une expression littérale Une parenthèse multipliée se distribue sur chaque terme, jamais sur un seul. Lire la démonstration → Nombres et calculs 🎮 Quiz Tester, mettre en équation et résoudre une équation du premier degré Résoudre une équation, c'est démasquer le nombre caché derrière la lettre x. Lire la démonstration → Géométrie 🎮 Quiz Le théorème de Pythagore et sa réciproque Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse cache toujours la même égalité entre les carrés. Lire la démonstration → Géométrie 🎮 Quiz Cas d'égalité des triangles, configuration de Thalès et cosinus Trois façons de prouver que deux triangles sont identiques, sans les superposer. Lire la démonstration → Géométrie 🎮 Quiz La translation : conservation des longueurs, aires et angles Une translation déplace une figure sans jamais la déformer. Lire la démonstration → Géométrie 🎮 Quiz Se repérer dans l'espace : abscisse, ordonnée, altitude Un point dans l'espace a besoin de trois nombres, jamais deux, pour être repéré. Lire la démonstration → Grandeurs et mesures 🎮 Quiz Volume d'une pyramide, d'un cône, et effet d'un agrandissement Une pyramide et un cône partagent la même formule : l'aire de la base, la hauteur, et surtout ce « divisé par 3 ». Lire la démonstration → Grandeurs et mesures 🎮 Quiz Convertir des grandeurs composées et vérifier un ordre de grandeur km/h, m/s, L/min : une grandeur composée cache toujours deux unités à convertir ensemble. Lire la démonstration → Données et probabilités 🎮 Quiz Diagramme circulaire et médiane d'une série Un diagramme circulaire partage un total en parts ; la médiane partage une série en deux moitiés. Lire la démonstration → Données et probabilités 🎮 Quiz Vocabulaire des probabilités et événements contraires Un événement et son contraire se partagent toujours toute la probabilité : ensemble, ils font 1. Lire la démonstration → Proportionnalité et fonctions 🎮 Quiz Quatrième proportionnelle, formules et échelles Un coefficient, une formule, une échelle : trois façons de résoudre le même genre de problème. Lire la démonstration → Proportionnalité et fonctions 🎮 Quiz Image, antécédent et graphique d'une fonction Une fonction relie chaque nombre à une seule image, comme une machine qui transforme x en y. Lire la démonstration → Algorithmique 🎮 Quiz Variable et condition « si … alors » dans un programme Une variable garde une valeur qui peut changer ; une condition choisit un chemin selon cette valeur. Lire la démonstration → Algorithmique 🎮 Quiz Boucles « répéter » et « répéter jusqu'à », simulation Une boucle répète un bloc d'instructions, un nombre de fois fixé ou jusqu'à ce qu'une condition change. Lire la démonstration →

Brevet L'épreuve de maths du brevet, telle qu'elle est Deux heures, deux parties, 20 points : connaître exactement le format évite les mauvaises surprises le jour J. Lire la démonstration → Brevet Rédiger une justification qui rapporte des points Un bon résultat sans justification perd des points ; une démarche juste, même inachevée, en rapporte. Lire la démonstration → Brevet Comparer deux offres avec des fonctions affines Deux tarifs qui se croisent, c'est une seule équation à résoudre. Lire la démonstration → Brevet Thalès, sa réciproque et les volumes de solides semblables Un tronc de cône ou de pyramide, c'est toujours une grande forme moins une petite forme semblable. Lire la démonstration → Brevet D'un programme de calcul à une équation-produit Traduire un programme de calcul en expression littérale, c'est la porte d'entrée vers l'équation qui le résout. Lire la démonstration → Brevet Angles d'une figure et blocs de programmation Pour faire tourner un robot d'un tour complet, il suffit de savoir combien de fois il répète son motif. Lire la démonstration → Brevet D'une série statistique à une probabilité à deux épreuves Une série de notes cache toujours plusieurs indicateurs : étendue, moyenne, médiane, et parfois même une probabilité. Lire la démonstration → Brevet Vitesse, débit et pourcentages : des grandeurs qui s'enchaînent Vitesse, débit, remise en pourcentage : trois grandeurs composées qui se calculent avec la même logique. Lire la démonstration → Nombres et calculs 🎮 Quiz Puissances et notation scientifique Un exposant négatif ne fait pas peur : c'est juste une fraction écrite autrement. Lire la démonstration → Nombres et calculs 🎮 Quiz Décomposer en facteurs premiers, simplifier une fraction Tout nombre entier se casse, sans reste, en un unique jeu de briques premières. Lire la démonstration → Nombres et calculs 🎮 Quiz Opposé, développer, factoriser et identités remarquables Développer sépare, factoriser regroupe : deux chemins opposés vers la même expression. Lire la démonstration → Nombres et calculs 🎮 Quiz Équations du premier degré, produit nul et racines carrées Un produit nul cache toujours au moins un facteur nul : c'est la clé pour résoudre une équation-produit. Lire la démonstration → Géométrie 🎮 Quiz Le théorème de Thalès et sa réciproque Deux droites parallèles suffisent à transformer des longueurs connues en une longueur inconnue. Lire la démonstration → Géométrie 🎮 Quiz Cosinus, sinus et tangente dans le triangle rectangle Dans un triangle rectangle, un seul angle suffit à retrouver les trois côtés. Lire la démonstration → Géométrie 🎮 Quiz Homothéties et rotations : effets et grandeurs Une homothétie agrandit ou réduit ; une rotation tourne : deux effets différents, à ne jamais confondre. Lire la démonstration → Géométrie 🎮 Quiz Se repérer sur une sphère, sections et patrons des solides Couper un solide par un plan révèle une figure plane cachée à l'intérieur. Lire la démonstration → Grandeurs et mesures 🎮 Quiz Volume d'une boule et assemblages de solides Un solide composé se découpe toujours en volumes plus simples, qu'on additionne. Lire la démonstration → Grandeurs et mesures 🎮 Quiz Grandeurs composées : vitesse, débit, conversions Une vitesse, un débit : deux grandeurs qui combinent toujours deux unités différentes. Lire la démonstration → Données et probabilités 🎮 Quiz Histogrammes, étendue, effectifs et fréquences Un histogramme range les données en classes de largeurs égales, comme des tiroirs de même taille. Lire la démonstration → Données et probabilités 🎮 Quiz Probabilités : expériences à deux épreuves Deux épreuves l'une après l'autre multiplient le nombre d'issues possibles. Lire la démonstration → Proportionnalité et fonctions 🎮 Quiz Proportionnalité, fonction linéaire et pourcentages d'évolution Une augmentation ou une diminution de pourcentage se résume toujours à une seule multiplication. Lire la démonstration → Proportionnalité et fonctions 🎮 Quiz Image, antécédent et représentation graphique d'une fonction Une image se calcule en partant de x ; un antécédent se cherche en partant de y : deux sens de lecture. Lire la démonstration → Algorithmique 🎮 Quiz Conditions et boucles : « si … alors » et « répéter … fois » Une boucle répète sans réfléchir ; une condition choisit selon un test : deux outils très différents. Lire la démonstration → Algorithmique 🎮 Quiz Évènements, décomposition et blocs personnalisés Plutôt que de tout recopier, un bon programme range ses instructions réutilisables dans un bloc à part. Lire la démonstration →

Fonctions Image, antécédent et courbe d'une fonction L'image se lit en sortie, l'antécédent se cherche en entrée : deux sens de lecture à ne jamais confondre. Lire la démonstration → Fonctions Carré, inverse, racine carrée, cube : les fonctions de référence Quatre courbes à reconnaître les yeux fermés : une parabole, deux branches, un arc, une vague. Lire la démonstration → Fonctions Équations et inéquations de fonctions Une équation f(x) = k s'isole comme une équation classique ; f(x) = g(x) se lit souvent où deux courbes se croisent. Lire la démonstration → Fonctions Le tableau de signes : produits et quotients Chaque facteur donne sa ligne, le produit ou le quotient donne la dernière : le tableau fait le tri tout seul. Lire la démonstration → Fonctions Variations et extremums d'une fonction Une flèche qui monte, une qui descend : le tableau de variations raconte la courbe sans la dessiner. Lire la démonstration → Fonctions Démonstration : la position relative des courbes de référence x, x² et x³ Sur [0 ; 1], les trois courbes se tiennent tassées sous la droite ; au-delà de 1, elles se dépassent dans l'autre sens. Lire la démonstration → Fonctions Démonstration : les variations des fonctions carré, inverse, racine carrée Trois fonctions, trois différences à factoriser : le signe de chacune donne le sens de variation. Lire la démonstration → Fonctions Démonstration : les variations d'une fonction affine selon le signe de m Un seul nombre, le coefficient m, décide si toute la droite monte, descend, ou reste à plat. Lire la démonstration → Géométrie Vecteurs : coordonnées, somme et produit par un réel Un vecteur a une direction, un sens et une longueur : ses coordonnées résument tout ça en deux nombres. Lire la démonstration → Géométrie Colinéarité : le déterminant qui dit oui ou non Un seul nombre décide si deux vecteurs pointent dans la même direction : le déterminant. Lire la démonstration → Géométrie Distance entre deux points et milieu d'un segment La distance entre deux points se cache dans les coordonnées de leur vecteur. Lire la démonstration → Géométrie Équation d'une droite : réduite, cartésienne, pente Deux nombres suffisent à décrire toute une droite : sa pente et son ordonnée à l'origine. Lire la démonstration → Géométrie Résoudre un système, trouver l'intersection de deux droites Résoudre un système, c'est trouver le seul point commun à deux droites. Lire la démonstration → Géométrie Problèmes de géométrie : Pythagore, Thalès, trigonométrie Trois outils suffisent à presque tous les problèmes de triangles : Pythagore, Thalès et la trigonométrie. Lire la démonstration → Géométrie Démonstration : deux vecteurs colinéaires, un déterminant nul Un seul calcul, xy′ − x′y, tranche entre deux vecteurs qui pointent dans la même direction ou non. Lire la démonstration → Géométrie Démonstration : le projeté orthogonal, point le plus proche Parmi tous les points d'une droite, un seul minimise la distance à un point donné : son projeté orthogonal. Lire la démonstration → Géométrie Démonstration : cos²(α) + sin²(α) = 1 Le théorème de Pythagore, divisé par le carré de l'hypoténuse, cache la relation la plus utilisée de la trigonométrie. Lire la démonstration → Géométrie Démonstration : la forme générale d'une équation de droite La colinéarité et son déterminant suffisent à retrouver l'équation de n'importe quelle droite. Lire la démonstration → Nombres et calculs ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ : trouver le plus petit ensemble Cinq ensembles emboîtés comme des poupées russes : ℕ dans ℤ, ℤ dans 𝔻, 𝔻 dans ℚ, ℚ dans ℝ. Lire la démonstration → Nombres et calculs Lire, écrire et utiliser un intervalle Un crochet qui pointe vers l'intérieur inclut ; un crochet qui pointe vers l'extérieur exclut. Lire la démonstration → Nombres et calculs Multiples, diviseurs et nombres premiers Un diviseur donne toujours un quotient entier, sans reste. Lire la démonstration → Nombres et calculs Puissances, racines carrées et fractions : les règles de calcul Même base : les exposants s'additionnent, se soustraient ou se multiplient — jamais au hasard. Lire la démonstration → Nombres et calculs Développer, factoriser, choisir la bonne forme Développer transforme un produit en somme ; factoriser fait exactement l'inverse. Lire la démonstration → Nombres et calculs Résoudre une inéquation du premier degré Diviser par un nombre négatif retourne l'inégalité comme un gant. Lire la démonstration → Nombres et calculs Démonstration : le nombre rationnel 1/3 n'est pas décimal Un nombre décimal a toujours un nombre FINI de chiffres après la virgule : 1/3 n'en a jamais fini. Lire la démonstration → Nombres et calculs Démonstration : le nombre réel √2 est irrationnel Aucune fraction, même la plus compliquée, ne donne exactement 2 une fois élevée au carré. Lire la démonstration → Nombres et calculs Démonstration : la somme de deux multiples de a est multiple de a Deux multiples du même nombre : leur somme reste dans la même famille. Lire la démonstration → Nombres et calculs Démonstration : le carré d'un nombre impair est impair Un nombre impair au carré reste impair : la preuve tient en une factorisation. Lire la démonstration → Nombres et calculs Démonstration : √(ab) = √a × √b pour a et b positifs Deux nombres positifs de même carré sont forcément égaux : toute la preuve tient là. Lire la démonstration → Nombres et calculs Démonstration : √(a/b) = √a / √b pour a positif et b strictement positif Le même argument que pour le produit, appliqué cette fois à un quotient. Lire la démonstration → Nombres et calculs Démonstration : illustration géométrique de (a + b)² = a² + 2ab + b² Un grand carré découpé en quatre morceaux dit toute l'identité, sans une seule lettre. Lire la démonstration → Statistiques et probabilités Proportions, pourcentages et pourcentages de pourcentages Une proportion se lit dans les deux sens : de l'effectif au pourcentage, et retour. Lire la démonstration → Statistiques et probabilités Taux d'évolution, coefficient multiplicateur et évolution réciproque Deux évolutions successives ne s'additionnent jamais : leurs coefficients multiplicateurs se multiplient. Lire la démonstration → Statistiques et probabilités Moyenne pondérée, médiane, quartiles et écart type Deux séries peuvent avoir la même moyenne et des dispersions très différentes. Lire la démonstration → Statistiques et probabilités Tableau croisé : fréquences conditionnelles et marginales Un tableau croisé cache deux familles de fréquences : celles qui regardent tout le tableau, et celles qui regardent une seule de ses lignes. Lire la démonstration → Statistiques et probabilités Univers, événements et calcul de probabilités Le long d'une branche de l'arbre, les probabilités se multiplient ; pour une réunion, on soustrait toujours l'intersection. Lire la démonstration → Statistiques et probabilités Fréquence observée, loi des grands nombres et intervalle de fluctuation Un échantillon fluctue ; plus il grandit, plus sa fréquence se resserre autour de la probabilité théorique. Lire la démonstration → Algorithmique et programmation Variables, affectation, condition et boucles en Python Une affectation ne compare rien : elle donne une valeur, en écrasant la précédente. Lire la démonstration → Algorithmique et programmation Définir, appeler et lire une fonction en Python Une fonction se définit une fois, mais s'appelle autant de fois que nécessaire, avec des arguments différents. Lire la démonstration →

Algèbre Modes de génération d'une suite Une suite se lance de deux façons : une formule qui donne le terme directement, ou une règle qui le construit à partir du précédent — et confondre les deux fait tout dérailler. Lire la démonstration → Algèbre Suites arithmétiques On ajoute toujours le même nombre : une suite arithmétique avance par pas constants, comme un escalier aux marches identiques. Lire la démonstration → Algèbre Suites géométriques On multiplie toujours par le même nombre : une suite géométrique avance par bonds proportionnels, comme un capital qui fructifie à taux constant. Lire la démonstration → Algèbre Variations et limite d'une suite Une suite qui monte, une qui descend, une qui oscille sans jamais se stabiliser : trois destins différents, à lire dans son comportement, pas dans son premier terme. Lire la démonstration → Algèbre Second degré : racines, signe, forme factorisée Sous forme factorisée, une fonction du second degré livre ses racines sans calcul : il suffit de savoir les lire, sans se tromper de signe. Lire la démonstration → Algèbre Second degré : forme canonique, discriminant, résolution Un seul nombre, le discriminant, décide de tout : deux racines, une seule, ou aucune — jamais besoin de deviner. Lire la démonstration → Algèbre Automatismes : évolutions et calcul Des réflexes à avoir les yeux fermés : un taux d'évolution, un produit nul, un signe à lire — le genre de calcul qui doit devenir automatique avant le jour du bac. Lire la démonstration → Algèbre Démonstration : le terme général d'une suite arithmétique, d'une suite géométrique De proche en proche, chaque terme se déduit du précédent — il suffit de compter combien de pas ont été franchis depuis le départ. Lire la démonstration → Algèbre Démonstration : le calcul de 1 + 2 + … + n Écrire la même somme deux fois, une fois à l'endroit, une fois à l'envers : la méthode de Gauss transforme une addition compliquée en une simple multiplication. Lire la démonstration → Algèbre Démonstration : le calcul de 1 + q + … + qⁿ Multiplier toute la somme par q, puis la soustraire à elle-même : presque tous les termes s'effacent, et il ne reste qu'une différence de deux puissances. Lire la démonstration → Algèbre Démonstration : la résolution de l'équation du second degré Un seul calcul, le discriminant, tranche entre trois destins possibles pour une équation du second degré : deux solutions, une seule, ou aucune. Lire la démonstration → Analyse Taux de variation et nombre dérivé Le taux de variation mesure la pente d'une sécante ; quand les deux points se rapprochent, cette pente se rapproche à son tour d'un nombre : le nombre dérivé. Lire la démonstration → Analyse L'équation de la tangente Un point et une pente suffisent à écrire l'équation d'une droite : la tangente ne fait pas exception. Lire la démonstration → Analyse Les dérivées des fonctions de référence Quatre fonctions, quatre dérivées à connaître par cœur : le reste du chapitre s'appuie dessus. Lire la démonstration → Analyse Dérivées et opérations Somme, produit, inverse, quotient : quatre règles pour dériver une fonction construite à partir d'autres. Lire la démonstration → Analyse Variations et signe de la dérivée Le signe de f′ raconte toute l'histoire des variations de f, sans avoir besoin de tracer sa courbe. Lire la démonstration → Analyse La fonction exponentielle Une fonction égale à sa propre dérivée : voilà ce qui rend l'exponentielle unique, et si utile pour modéliser une évolution. Lire la démonstration → Analyse Trigonométrie et cercle trigonométrique Un cercle de rayon 1, un point qui tourne : le cosinus se lit en abscisse, le sinus en ordonnée. Lire la démonstration → Analyse Démonstration : l'équation de la tangente en un point à une courbe représentative La tangente est la « limite » des sécantes : il suffit de suivre cette idée pour en écrire l'équation. Lire la démonstration → Analyse Démonstration : la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0 La courbe de la racine carrée part de l'origine presque à la verticale : son taux de variation le confirme par le calcul. Lire la démonstration → Analyse Démonstration : la fonction dérivée de la fonction carrée, de la fonction inverse Deux calculs de taux de variation, deux formules de dérivées à retenir pour toute l'année. Lire la démonstration → Analyse Démonstration : la fonction dérivée d'un produit Un terme ajouté puis retranché suffit à faire apparaître séparément les deux taux de variation d'un produit. Lire la démonstration → Analyse Démonstration : le calcul de cos(π/4), sin(π/4), cos(π/3), sin(π/3) Un carré coupé en deux, un triangle équilatéral coupé en deux : deux figures suffisent à retrouver quatre valeurs remarquables. Lire la démonstration → Géométrie Produit scalaire : définitions et calcul Un seul nombre pour résumer deux vecteurs : leur longueur, et l'angle qui les sépare — le produit scalaire ouvre une nouvelle façon de démontrer en géométrie. Lire la démonstration → Géométrie Produit scalaire en coordonnées En base orthonormée, un seul calcul sur les coordonnées suffit : xx′ + yy′, et le produit scalaire livre aussitôt orthogonalité, norme et distance. Lire la démonstration → Géométrie Al-Kashi, angles et longueurs Le théorème de Pythagore ne connaît que les triangles rectangles : la formule d'Al-Kashi, elle, calcule une longueur ou un angle dans un triangle QUELCONQUE. Lire la démonstration → Géométrie Vecteur normal à une droite Un vecteur perpendiculaire à une droite suffit pour en écrire l'équation, la comparer à une autre, ou projeter n'importe quel point dessus. Lire la démonstration → Géométrie Équations de cercles Un cercle entier tient dans une seule égalité : la distance de chaque point de son centre reste toujours la même, égale au rayon. Lire la démonstration → Géométrie Automatismes : fonctions et représentations Lire un graphique vite et juste : où la courbe croise-t-elle une valeur, où change-t-elle de signe, quelle droite est tracée — des réflexes à automatiser avant le jour du bac. Lire la démonstration → Géométrie Démonstration : la formule d'Al-Kashi Décomposer un côté du triangle en deux vecteurs, puis développer son carré grâce au produit scalaire : Pythagore se généralise à un triangle quelconque. Lire la démonstration → Géométrie Démonstration : caractériser le cercle de diamètre [AB] par le produit scalaire Passer par le milieu d'un segment transforme un produit scalaire compliqué en une simple identité remarquable — et révèle un cercle tout entier. Lire la démonstration → Probabilités et statistiques Probabilités conditionnelles et tableaux croisés P(A ∩ B), P_A(B) et P_B(A) se lisent sur un même tableau, mais elles ne se divisent jamais par le même nombre. Lire la démonstration → Probabilités et statistiques Arbres pondérés et probabilités totales Le long d'une branche, les probabilités se multiplient ; entre deux chemins menant au même résultat, elles s'additionnent. Lire la démonstration → Probabilités et statistiques Indépendance de deux évènements Indépendants, incompatibles : deux mots qui se ressemblent, deux notions qui n'ont presque rien en commun. Lire la démonstration → Probabilités et statistiques Variable aléatoire et loi de probabilité Une variable aléatoire n'est ni un évènement ni une probabilité : c'est une fonction qui transforme chaque issue du hasard en un nombre. Lire la démonstration → Probabilités et statistiques Espérance, variance et écart type L'espérance ne prédit jamais UNE partie : elle décrit ce qui se passe, en moyenne, sur un très grand nombre de parties. Lire la démonstration → Algorithmique et programmation Listes Python : génération, parcours, comptage Une liste se construit de trois façons différentes, mais se parcourt toujours de la même : élément après élément. Lire la démonstration → Probabilités et statistiques Automatismes : statistiques et probabilités Lire vite et juste un graphique, un tableau croisé ou un arbre : ce sont des réflexes à entretenir toute l'année, pas un chapitre de plus. Lire la démonstration →

Algèbre et géométrie Dénombrement : principes additif et multiplicatif Compter sans tout énumérer : deux principes suffisent, à eux seuls, à dénombrer des ensembles bien trop grands pour qu'on les liste à la main. Lire la démonstration → Algèbre et géométrie Permutations, combinaisons et triangle de Pascal La question qui change tout avant de compter : l'ORDRE compte-t-il, ou seulement le GROUPE final ? La réponse choisit entre trois outils : factorielle, arrangement, combinaison. Lire la démonstration → Algèbre et géométrie Vecteurs de l'espace Le calcul vectoriel du plan se prolonge dans l'espace sans rien perdre — sauf qu'il faut désormais surveiller TROIS coordonnées, pas deux, avant de conclure. Lire la démonstration → Algèbre et géométrie Droites et plans de l'espace Dans l'espace, deux droites qui ne se coupent pas ne sont pas forcément parallèles : il faut désormais compter TROIS positions relatives, pas deux. Lire la démonstration → Algèbre et géométrie Produit scalaire dans l'espace xx′ + yy′ devient xx′ + yy′ + zz′ : le produit scalaire s'étend à l'espace avec un seul terme de plus — mais c'est justement celui qu'on oublie. Lire la démonstration → Algèbre et géométrie Représentations paramétriques et équations cartésiennes Un repère de l'espace transforme toute question de géométrie en un système d'équations : droites et plans deviennent des formules qu'on résout, plutôt que des figures qu'on imagine. Lire la démonstration → Algèbre et géométrie Démonstration : la somme des coefficients binomiaux Compter deux fois le même ensemble, de deux façons différentes, et poser que les deux résultats sont forcément égaux : c'est tout le principe d'une preuve par dénombrement. Lire la démonstration → Algèbre et géométrie Démonstration : la relation de Pascal Une même relation, deux regards : un calcul de fractions qui tombe juste, puis un argument de dénombrement qui rend ce calcul évident. Lire la démonstration → Algèbre et géométrie Démonstration : le projeté orthogonal, point le plus proche Un triangle rectangle caché dans l'espace suffit à prouver ce qu'on utilise sans y penser : la distance d'un point à un plan se mesure PERPENDICULAIREMENT à ce plan, jamais autrement. Lire la démonstration → Algèbre et géométrie Démonstration : l'équation cartésienne du plan normal à un vecteur Une seule condition d'orthogonalité, développée en coordonnées, suffit à faire apparaître l'équation ax + by + cz + d = 0 qui décrit tout un plan de l'espace. Lire la démonstration → Analyse Le raisonnement par récurrence Une propriété vraie au départ, et qui se transmet d'un rang au suivant : voilà tout ce qu'il faut pour qu'elle soit vraie partout. Lire la démonstration → Analyse Limites de suites Une suite finit-elle par exploser, par se stabiliser, ou par ne rien faire de tout cela ? Les théorèmes du chapitre répondent sans jamais calculer tous les termes. Lire la démonstration → Analyse Limites de fonctions Une limite en +∞, en −∞ ou en un point se lit directement sur la courbe : une asymptote horizontale ou verticale en est la trace. Lire la démonstration → Analyse Compléments sur la dérivation Une fonction composée se dérive en deux temps : la dérivée de l'extérieur, évaluée à l'intérieur, multipliée par la dérivée de l'intérieur. Lire la démonstration → Analyse Convexité Une courbe qui « creuse vers le haut » reste toujours au-dessus de ses tangentes et en dessous de ses sécantes : c'est ça, la convexité. Lire la démonstration → Analyse Continuité et théorème des valeurs intermédiaires Une courbe continue qui passe du négatif au positif traverse forcément l'axe des abscisses : c'est toute la puissance du théorème des valeurs intermédiaires. Lire la démonstration → Analyse Démonstration : toute suite croissante non majorée tend vers +∞ Ne jamais s'arrêter de grandir, et n'avoir aucun plafond : cela suffit à garantir que la suite dépasse un jour n'importe quel seuil, aussi grand soit-il. Lire la démonstration → Analyse Démonstration : la limite de (qⁿ), après l'inégalité de Bernoulli Une inégalité démontrée par récurrence, et toute la limite d'une suite géométrique s'en déduit. Lire la démonstration → Analyse Démonstration : divergence vers +∞ d'une suite minorée par une suite divergeant vers +∞ Rester toujours au-dessus d'une suite qui explose : voilà qui suffit à exploser soi-même. Lire la démonstration → Analyse Démonstration : la limite en +∞ et en −∞ de la fonction exponentielle Étudier une simple différence entre l'exponentielle et une droite suffit à connaitre son comportement aux deux bouts de la droite réelle. Lire la démonstration → Analyse Démonstration : la croissance comparée de xⁿ et de l'exponentielle en +∞ Répéter le même argument, une fois par degré de puissance : c'est ainsi que l'exponentielle finit par écraser n'importe quelle puissance de x. Lire la démonstration → Analyse Démonstration : si f″ est positive, alors la courbe de f est au-dessus de ses tangentes Comparer f à sa propre tangente revient à étudier une simple différence : sa dérivée première suffit à montrer qu'elle ne peut jamais devenir négative. Lire la démonstration → Analyse Logarithme népérien : réciproque et propriétés Le logarithme népérien défait ce que l'exponentielle a fait : deux fonctions réciproques, et toute une algèbre pour transformer une écriture. Lire la démonstration → Analyse Étude de la fonction logarithme ln grandit sans fin, mais de plus en plus lentement : sa dérivée, ses limites et la croissance comparée racontent toute son histoire. Lire la démonstration → Analyse Fonctions sinus et cosinus sin et cos se dérivent l'une dans l'autre, se répètent tous les 2π, et suffisent à résoudre des problèmes d'optimisation géométrique. Lire la démonstration → Analyse Primitives Chercher une primitive, c'est lire le tableau des dérivées à l'envers — avec une infinité de réponses possibles, à une constante près. Lire la démonstration → Analyse Équations différentielles Une équation dont l'inconnue est une fonction : la clé est toujours la même, une solution particulière plus la solution générale de l'équation sans second membre. Lire la démonstration → Analyse Calcul intégral Une intégrale, c'est d'abord une aire sous une courbe — et une primitive suffit pour la calculer exactement, sans découper en rectangles. Lire la démonstration → Analyse Démonstration : la dérivée de la fonction logarithme népérien ln et exp sont réciproques : dériver l'identité qui les relie suffit à trouver la dérivée de ln, sans repartir d'un taux de variation. Lire la démonstration → Analyse Démonstration : la limite en 0 de la fonction x ln(x) x tend vers 0 pendant que ln(x) tend vers −∞ : un changement de variable transforme cette forme indéterminée en une croissance comparée déjà connue. Lire la démonstration → Analyse Démonstration : deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante Deux fonctions qui ont la même dérivée partout sur un intervalle ne peuvent différer que d'un décalage constant. Lire la démonstration → Analyse Démonstration : résolution de l'équation différentielle y’ = ay Vérifier qu'une famille de fonctions est solution est facile ; montrer qu'il n'y en a pas d'autre demande un argument de plus, en multipliant par une exponentielle bien choisie. Lire la démonstration → Analyse Démonstration : le lien entre intégrale et primitive L'aire accumulée depuis a jusqu'à x, prise comme fonction de x, se révèle être une primitive de f : voilà pourquoi une seule primitive suffit à calculer toute intégrale. Lire la démonstration → Analyse Démonstration : la formule d'intégration par parties La dérivée d'un produit, intégrée entre deux bornes, se réarrange en une formule qui transforme une intégrale difficile en une autre, plus simple. Lire la démonstration → Probabilités Succession d'épreuves indépendantes Répéter une expérience au hasard, encore et encore : la probabilité de tout un scénario tient dans un seul produit, à condition que les épreuves ne se gênent jamais entre elles. Lire la démonstration → Probabilités Schéma de Bernoulli et loi binomiale Une pièce, une graine, une pièce défectueuse : dès qu'une expérience n'a que deux issues répétées à l'identique, la loi binomiale en compte les succès sans jamais lister tous les cas. Lire la démonstration → Probabilités Problèmes sur la loi binomiale Au-delà du calcul de P(X = k), la loi binomiale répond à des questions de seuil et d'optimisation : combien faut-il de succès pour dépasser un risque donné ? quelle est la valeur la plus probable ? Lire la démonstration → Probabilités Sommes de variables aléatoires Décomposer une variable compliquée en somme de variables plus simples : l'espérance s'additionne toujours, la variance seulement quand rien ne relie les morceaux entre eux. Lire la démonstration → Probabilités Concentration et loi des grands nombres Un écart type mesure la dispersion d'une variable autour de sa moyenne ; l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev en tire un majorant universel, qui couronne toute la partie « Probabilités » avec la loi des grands nombres. Lire la démonstration → Algorithmique et programmation Python : simulation et échantillons Une liste de valeurs simulées se manipule avec quelques outils simples : la parcourir, en extraire une moyenne, un écart type, ou faire avancer une marche pas à pas. Lire la démonstration → Probabilités Démonstration : la probabilité de k succès dans le schéma de Bernoulli Compter les chemins d'un arbre qui mènent au même nombre de succès, puis multiplier par leur probabilité commune : voilà toute la formule de la loi binomiale, démontrée d'un seul geste de dénombrement. Lire la démonstration → Probabilités Démonstration : espérance et variance de la loi binomiale Décomposer le nombre total de succès en une somme de petits « 0 ou 1 » indépendants : la linéarité de l'espérance et l'additivité de la variance font le reste du travail. Lire la démonstration →

Algèbre Développer et factoriser : la distributivité 7 × 102 de tête ? Il suffit de couper 102 en 100 et 2. Lire la démonstration → Algèbre Résoudre une équation simple Une équation, c'est une balance en équilibre : tout ce qu'on fait d'un côté, on le fait de l'autre. Lire la démonstration → Organisation et gestion de données Proportionnalité : coefficient, pourcentage, échelle, vitesse Si 3 kg de tomates coûtent 12 DH, combien coûtent 8 kg ? La proportionnalité répond sans deviner. Lire la démonstration → Organisation et gestion de données Droite graduée et repère : abscisse, ordonnée, distance Deux nombres suffisent pour situer n'importe quel point d'une carte, d'un échiquier ou d'une feuille : ses coordonnées. Lire la démonstration → Organisation et gestion de données Statistique : effectifs, fréquences et diagrammes Compter, ranger et dessiner : les statistiques transforment une liste de nombres en une image lisible. Lire la démonstration → Géométrie Perpendiculaires et parallèles : les deux règles à connaître Une équerre, deux règles, et on peut prouver que deux droites ne se croiseront jamais. Lire la démonstration → Géométrie La somme des angles d'un triangle Quel que soit le triangle, ses trois angles font toujours 180° : un bon moyen de trouver l'angle manquant. Lire la démonstration → Géométrie Médiatrice d'un segment et cercle circonscrit Tous les points à égale distance de deux points sont alignés sur une même droite : la médiatrice. Lire la démonstration → Géométrie Bissectrice d'un angle et cercle inscrit Couper un angle en deux parts égales, c'est tout le travail de la bissectrice. Lire la démonstration → Géométrie Symétrie centrale et parallélogramme Un demi-tour autour d'un point : tout ce qui est tourné garde sa forme, ses longueurs et ses angles. Lire la démonstration → Géométrie Angles formés par deux parallèles et une sécante Dès qu'une sécante coupe deux parallèles, huit angles apparaissent, mais seulement deux valeurs différentes. Lire la démonstration → Géométrie Rectangle, losange, carré : reconnaître et calculer Un carré est à la fois un rectangle et un losange : il cumule toutes leurs propriétés. Lire la démonstration → Géométrie Le cercle : rayon, diamètre et droite Le cercle ne contient que des points à la même distance du centre : cette seule idée explique tout le chapitre. Lire la démonstration → Géométrie Périmètres et aires : le bon outil pour chaque figure Le périmètre mesure le contour, l'aire mesure l'intérieur : deux grandeurs, deux unités. Lire la démonstration → Géométrie Prisme droit et cylindre : aire latérale et volume Empiler la même base sur une hauteur : voilà tout le secret du volume d'un prisme droit ou d'un cylindre. Lire la démonstration → Nombres et calculs Calculer avec les entiers et les décimaux Une virgule mal placée, et 4,50 DH deviennent 45 DH : voyons comment ne plus se tromper. Lire la démonstration → Nombres et calculs Les fractions : simplifier, comparer, additionner Trois quarts d'une pizza, c'est autant que six huitièmes : même quantité, deux écritures. Lire la démonstration → Nombres et calculs Les nombres relatifs : ranger, additionner, soustraire −5 °C, c'est plus froid que −2 °C : les nombres négatifs ont leur propre logique, et elle est simple. Lire la démonstration →

Algèbre Réduire, développer et factoriser Développer, c'est ouvrir les parenthèses ; factoriser, c'est les refermer. Lire la démonstration → Algèbre Résoudre une équation du premier degré Une équation est une balance : ce qu'on fait d'un côté, on le fait de l'autre. Lire la démonstration → Algèbre Ordre, opérations et encadrements Multiplier par un nombre négatif retourne l'ordre. Lire la démonstration → Organisation et gestion de données Proportionnalité : coefficient et quatrième proportionnelle Si 3 stylos coûtent 6 DH, combien coûtent 30 stylos ? Sans tout recompter. Lire la démonstration → Organisation et gestion de données Pourcentages, augmentations et diminutions Un pourcentage, c'est une proportion rapportée à 100. Lire la démonstration → Statistiques et probabilités Effectifs, fréquences et moyenne Résumer cent réponses en un seul nombre. Lire la démonstration → Géométrie La symétrie axiale Plie la feuille le long de l'axe : tout se superpose. Lire la démonstration → Géométrie Milieux de deux côtés d'un triangle Joins deux milieux : tu obtiens une parallèle et une moitié. Lire la démonstration → Géométrie Médianes, hauteurs, médiatrices et bissectrices Quatre familles de droites, quatre points de rencontre. Lire la démonstration → Géométrie Triangle rectangle et cercle circonscrit L'angle droit se cache toujours sur un demi-cercle. Lire la démonstration → Géométrie Vecteurs et translations Un vecteur dit comment aller d'un point à un autre : direction, sens et longueur. Lire la démonstration → Géométrie Pyramides et cônes de révolution Un tiers du volume d'un prisme, un tiers de celui d'un cylindre : le volume d'une pointe. Lire la démonstration → Nombres et calculs Multiplier et diviser des nombres relatifs Un seul geste décide du signe du résultat : compter les facteurs négatifs. Lire la démonstration → Nombres et calculs Les rationnels : fractions égales, simplifier, comparer Une même quantité s'écrit de mille façons : 1/2, 2/4, 50/100… Lire la démonstration → Nombres et calculs Additionner, multiplier et diviser des rationnels Additionner demande le même dénominateur ; multiplier, jamais. Lire la démonstration → Nombres et calculs Les puissances d'exposant entier relatif Dix fois dix fois dix, en deux caractères : 10³. Lire la démonstration →

Algèbre Équations du premier degré, équations produit et problèmes Une équation, c'est une balance en équilibre : tout ce qu'on fait d'un côté, on le fait de l'autre. Lire la démonstration → Algèbre Ordre et opérations : encadrer et résoudre des inéquations Une inéquation, c'est une équation où l'égalité devient « au plus » ou « au moins » : il y a toute une zone de solutions. Lire la démonstration → Algèbre Systèmes de deux équations : résoudre, lire sur un graphique, mettre en équations Deux informations, deux inconnues : en les croisant, on trouve les deux nombres. Lire la démonstration → Algèbre et géométrie Examen régional blanc : numérique, graphique, géométrie Dix questions qui mêlent toutes les parties de l'examen : le bon réflexe est de reconnaître l'outil avant de calculer. Lire la démonstration → Fonctions Fonctions linéaires : image, antécédent, graphique, problèmes Quand le prix suit la quantité, c'est une fonction linéaire : une règle, une droite qui passe par l'origine. Lire la démonstration → Fonctions Fonctions affines : expression, droite, antécédent, problèmes Un prix fixe plus un prix par unité : c'est une fonction affine, et sa courbe est une droite. Lire la démonstration → Géométrie Théorème de Thalès, triangles isométriques et semblables Une ombre, un poteau, un arbre : avec une droite parallèle, on mesure sans escalader. Lire la démonstration → Géométrie Théorème de Pythagore et sa réciproque Un coin droit se vérifie avec trois nombres : le carré du grand côté contre la somme des deux autres. Lire la démonstration → Géométrie Trigonométrie du triangle rectangle : cosinus, sinus, tangente Avec un angle et un côté, on retrouve les autres côtés : c'est le métier des rapports trigonométriques. Lire la démonstration → Géométrie Translation : image d'un point et d'une figure, vecteur de la translation Faire glisser une figure sans la tourner ni la déformer : c'est une translation. Lire la démonstration → Géométrie Repère du plan : coordonnées, vecteurs, milieu et distance Avec deux nombres par point, on calcule des longueurs, des milieux et des déplacements sans règle. Lire la démonstration → Géométrie Droites du plan : équation réduite, pentes, parallèles et perpendiculaires Une droite tient dans une équation : sa pente dit sa direction, et on sait si deux droites sont parallèles ou perpendiculaires. Lire la démonstration → Géométrie Volumes des solides usuels, Pythagore, Thalès, agrandissement et réduction Combien de litres dans un aquarium, de sable dans une pyramide ? Le volume le dit, et il change vite quand on agrandit. Lire la démonstration → Géométrie Angles inscrits et angles au centre Sur un cercle, l'angle vu du centre est toujours le double de l'angle vu de la circonférence. Lire la démonstration → Nombres et calculs Les trois identités remarquables : développer, factoriser, calculer Trois égalités à connaître par cœur, et des calculs qui semblaient longs se font de tête. Lire la démonstration → Nombres et calculs Puissances : règles de calcul et écriture scientifique Un nombre très grand ou très petit tient sur une ligne grâce aux puissances de 10. Lire la démonstration → Nombres et calculs Racines carrées : calculer, simplifier, rendre rationnel Chercher le côté d'un carré connaissant son aire : voilà ce que fait une racine carrée. Lire la démonstration → Statistiques et probabilités Statistique : tableaux, mode, médiane, moyenne et graphiques Un tableau de chiffres devient une phrase : « la note la plus fréquente », « la moitié des élèves a au plus... ». Lire la démonstration →

Algèbre Racines d'un polynôme et division par x − a Si a est une racine, le facteur x − a se cache dans le polynôme : la méthode de Horner le fait sortir en quelques lignes. Lire la démonstration → Algèbre Équations du second degré : discriminant et forme canonique Un seul nombre, le discriminant, annonce combien de solutions tu vas trouver. Lire la démonstration → Algèbre Inéquations et signe du trinôme Le signe d'un trinôme se lit sur sa parabole : à l'intérieur ou à l'extérieur des racines. Lire la démonstration → Algèbre Systèmes de deux équations : substitution, combinaison, déterminant Trois méthodes pour une même réponse : choisis celle qui demande le moins de calculs. Lire la démonstration → Algèbre Régionnement du plan et programmation linéaire Chaque inéquation à deux inconnues coupe le plan en deux : il suffit de colorier le bon côté. Lire la démonstration → Fonctions Fonctions : ensemble de définition, parité, lecture graphique Une fonction est une machine à calculer : encore faut-il savoir quels nombres on a le droit d'y mettre. Lire la démonstration → Fonctions Parabole, fonction homographique et fonction a/x Trois familles de courbes, trois recettes pour les tracer sans changer de repère. Lire la démonstration → Fonctions Radians, cercle trigonométrique et équations Sur le cercle trigonométrique, le cosinus est l'abscisse d'un point et le sinus son ordonnée. Lire la démonstration → Statistiques et probabilités Tableaux statistiques, fréquences et histogrammes Une liste de nombres bruts devient lisible dès qu'on la range dans un tableau. Lire la démonstration → Statistiques et probabilités Moyenne, médiane, mode, variance et écart type Trois nombres pour situer une série, trois autres pour dire à quel point elle s'étale. Lire la démonstration → Géométrie Calcul vectoriel : somme, Chasles, coordonnées, milieu Un vecteur, c'est un déplacement : on peut l'additionner, l'allonger, et s'en servir pour démontrer. Lire la démonstration → Géométrie Colinéarité, projection et théorème de Thalès Deux vecteurs colinéaires pointent dans la même direction : cette idée prouve les alignements et les parallélismes. Lire la démonstration → Géométrie La droite dans le plan : vecteur directeur, équations, position relative Une droite se décrit par un point et une direction : un seul vecteur suffit pour écrire son équation. Lire la démonstration → Géométrie Translation, homothétie et symétries Déplacer, agrandir, retourner : chaque transformation a sa règle de calcul. Lire la démonstration → Géométrie Produit scalaire : distance, orthogonalité, médiane, Al-Kashi Un seul calcul, xx′ + yy′, donne les longueurs, les angles droits et les côtés d'un triangle. Lire la démonstration → Géométrie Géométrie dans l'espace : plans, droites, orthogonalité Dans l'espace, deux droites peuvent ne jamais se couper sans être parallèles : le cube nous le montre. Lire la démonstration → Nombres et calculs PGCD, PPCM et décomposition en facteurs premiers Un seul geste, décomposer en facteurs premiers, donne les diviseurs, le PGCD et le PPCM d'un coup. Lire la démonstration → Nombres et calculs IN, Z, ID, Q, IR : situer un nombre, puissances et écriture scientifique Cinq ensembles emboîtés, comme des poupées russes : chaque nombre a sa plus petite poupée. Lire la démonstration → Nombres et calculs Identités remarquables : développer, factoriser, calculer vite Six formules à connaître : elles transforment un calcul pénible en deux lignes. Lire la démonstration → Nombres et calculs Comparer, valeur absolue, intervalles et encadrements Pour comparer deux nombres, on peut étudier leur différence, leurs carrés ou un encadrement : à toi de choisir la bonne technique. Lire la démonstration →

Algèbre Logique : quantificateurs et raisonnements Une démonstration est un enchaînement où chaque pas se justifie : savoir choisir son raisonnement, c'est la moitié du travail. Lire la démonstration → Algèbre Suites : majoration, monotonie et récurrence Une suite peut grimper, redescendre ou se stabiliser : on le prouve avec une différence, un quotient ou une récurrence. Lire la démonstration → Algèbre Suites arithmétiques et géométriques Une épargne qui grossit de la même somme chaque semaine, un capital qui perd 20 % par an : deux suites, deux formules. Lire la démonstration → Algèbre Trigonométrie : formules de transformation Un angle de 15° n'est pas sur la liste des angles usuels, mais il est la différence de deux angles qui y sont : les formules font le reste. Lire la démonstration → Algèbre Équations et inéquations trigonométriques Sur le cercle trigonométrique, résoudre une équation revient à repérer des points ; résoudre une inéquation, à colorier un arc. Lire la démonstration → Analyse Nombre dérivé, tangente et approximation affine De très près, une courbe ressemble à sa tangente : c'est ce qui permet d'estimer sans calculatrice une racine ou une puissance. Lire la démonstration → Analyse Variations, extremums et optimisation Le plus grand, le plus petit, le plus rentable : la dérivée dit où une grandeur monte, où elle redescend, et où elle culmine. Lire la démonstration → Analyse Étude de fonctions : concavité, asymptotes, branches Tracer une courbe à la main, c'est dresser son portrait : où elle monte, où elle se courbe, et vers quoi elle tend au loin. Lire la démonstration → Fonctions Variations, comparaison et lectures graphiques Comparer deux expressions, lire un maximum sur un tableau, trouver l'image d'un intervalle : trois gestes pour manier une fonction. Lire la démonstration → Fonctions Composée, signe, périodicité et symétries Une courbe qui se répète ou qui se reflète n'a besoin d'être étudiée qu'en partie : le reste s'obtient par symétrie. Lire la démonstration → Analyse Calculs de limites Quand x devient immense, ou s'approche d'un point interdit, que fait f(x) ? Quelques règles suffisent, et une astuce pour les cas difficiles. Lire la démonstration → Analyse Calculer des dérivées Une table et cinq règles : avec elles, on dérive presque toutes les fonctions du programme. Lire la démonstration → Géométrie Barycentre : définition, coordonnées, simplification Le point d'équilibre de deux masses sur une balançoire : c'est un barycentre, et il se calcule avec une simple formule. Lire la démonstration → Géométrie Barycentre : alignement, concourance, problèmes Pour montrer que trois points sont alignés ou que trois droites se coupent, on cherche un barycentre qui les relie. Lire la démonstration → Géométrie Rotation : images de points, cercles et droites Un tour de manège autour d'un centre : tout se déplace, mais les distances et les angles ne changent pas. Lire la démonstration → Géométrie Produit scalaire analytique et droite Avec des coordonnées, longueur, angle, perpendicularité et distance à une droite se calculent sans rien tracer. Lire la démonstration → Géométrie Cercle : équation cartésienne et représentation paramétrique Un cercle, c'est tous les points à la même distance du centre : cette phrase devient une équation, puis une trajectoire. Lire la démonstration → Géométrie Cercle et droite : positions, tangente, lieux Une droite peut traverser un cercle, le frôler ou l'ignorer : la distance du centre à la droite tranche. Lire la démonstration → Géométrie Vecteurs de l'espace : colinéarité et coplanarité Dans l'espace comme dans le plan, les vecteurs s'additionnent : une troisième direction, et la coplanarité en plus. Lire la démonstration → Géométrie Géométrie analytique de l'espace : droites et plans Avec trois coordonnées, une droite se décrit par un paramètre, un plan par une équation, et le déterminant tranche la coplanarité. Lire la démonstration →

Algèbre Logique, quantificateurs et raisonnements Une démonstration est une chaîne de phrases dont chacune est permise : apprends à l'écrire en symboles et à choisir la bonne preuve. Lire la démonstration → Algèbre Ensembles : extension, parties, De Morgan, produit cartésien Un ensemble se décrit par la liste de ses éléments ou par une propriété : les opérations ensemblistes sont celles de la logique. Lire la démonstration → Algèbre Applications : images, injection, surjection, bijection, composée Une application associe à chaque élément un seul élément : savoir la lire, l'inverser et la composer ouvre toute l'analyse. Lire la démonstration → Nombres et calculs Division euclidienne, pgcd, ppcm et nombres premiers Deux entiers partagent toujours un plus grand diviseur : l'algorithme d'Euclide le trouve en quelques lignes, sans décomposer. Lire la démonstration → Nombres et calculs Congruences et ensemble Z/nZ Calculer modulo n, c'est ne garder que le reste : de quoi trouver le dernier chiffre de 7²⁰²³ sans calculatrice. Lire la démonstration → Nombres et calculs Dénombrement : choix, arrangements, combinaisons, binôme Compter sans énumérer : l'arbre de choix et trois formules suffisent pour dénombrer podiums, comités et mots de passe. Lire la démonstration → Analyse Suites : récurrence, monotonie, majoration Une suite est une liste infinie de nombres : la récurrence permet de prouver une propriété pour tous les rangs d'un seul coup. Lire la démonstration → Analyse Suites arithmétiques et géométriques : termes, sommes, problèmes On ajoute toujours le même nombre, ou on multiplie toujours par le même : deux modèles pour les économies, les baisses de prix et les populations. Lire la démonstration → Analyse Trigonométrie : formules, équations et inéquations Les formules d'addition fabriquent des valeurs exactes comme cos 75° et ramènent bien des équations à une équation de base. Lire la démonstration → Analyse Limites : polynômes, rationnelles, irrationnelles, trigonométriques Que devient f(x) quand x devient très grand, ou se rapproche d'un point ? Quelques techniques font lever presque toutes les indéterminations. Lire la démonstration → Analyse Dérivation : nombre dérivé, tangente, règles de calcul Le nombre dérivé donne la pente de la courbe en un point : il fournit la tangente et la meilleure approximation affine. Lire la démonstration → Analyse Dérivation : variations, extremums, optimisation Le signe de la dérivée raconte les montées et les descentes d'une fonction : de quoi trouver le meilleur choix d'un problème concret. Lire la démonstration → Fonctions Fonctions : bornes, périodicité, composée, résolution graphique Comparer, borner, composer : les fonctions se manipulent comme des nombres, et leur courbe répond aux équations sans calcul. Lire la démonstration → Fonctions Étude et représentation : symétries, asymptotes, inflexion, domaines Parité, période, asymptotes et concavité : un plan d'étude pour tracer proprement n'importe quelle courbe. Lire la démonstration → Géométrie Barycentre de deux, trois points : calcul, alignement, lieux Le barycentre est le point d'équilibre de masses placées en des points : il simplifie les sommes de vecteurs et prouve alignements et concours. Lire la démonstration → Géométrie Produit scalaire analytique, angles, aires et droites Avec les coordonnées, le produit scalaire transforme orthogonalité, angles et distances en simples calculs. Lire la démonstration → Géométrie Le cercle : équation, paramétrage, droite et tangente Un cercle est un ensemble de points à distance fixe d'un centre : l'équation le décrit, le paramètre le dessine. Lire la démonstration → Géométrie La rotation : image, composée, réciproque, symétries Une rotation fait tourner le plan autour d'un point sans rien déformer : elle transporte figures, angles et barycentres. Lire la démonstration → Géométrie Espace : colinéarité, coplanarité, droites et plans analytiques Dans l'espace, une droite ou un plan se décrit par un point et des directions : le déterminant dit si trois vecteurs sont dans un même plan. Lire la démonstration → Géométrie Espace : plan normal, sphère, produit vectoriel Le produit scalaire donne les plans et les sphères, le produit vectoriel donne le vecteur normal et l'aire : deux outils pour toute la géométrie de l'espace. Lire la démonstration →

Analyse Suites uₙ₊₁ = a·uₙ + b : la suite auxiliaire Un prêt qu'on rembourse, une épargne qui rapporte : à chaque étape on multiplie puis on ajoute. Une astuce ramène tout à une suite géométrique. Lire la démonstration → Analyse Limites de suites, convergence et point fixe Où va une suite quand n devient immense ? Quelques limites à connaître et deux critères suffisent à répondre. Lire la démonstration → Analyse Primitives : formes usuelles et reconnaissance Remonter de la dérivée à la fonction : c'est ce qui permet ensuite de calculer des aires. Lire la démonstration → Analyse Équations différentielles y′ = ay + b et y″ + ay′ + by = 0 Une vitesse de refroidissement, une oscillation : beaucoup de phénomènes obéissent à une équation qui relie une fonction à sa dérivée. Lire la démonstration → Analyse Calcul intégral : primitives, parties, aires et volumes Une aire entre deux courbes, le volume d'un vase tourné sur un tour : l'intégrale mesure tout cela. Lire la démonstration → Fonctions Continuité, valeurs intermédiaires et dichotomie Une équation sans formule de résolution a-t-elle une solution ? Le théorème des valeurs intermédiaires répond, et la dichotomie la traque. Lire la démonstration → Fonctions Image d'un intervalle, bijection et fonction réciproque Une fonction qui ne revient jamais sur ses pas peut être « défaite » : sa réciproque, dont on connaît la courbe et la pente. Lire la démonstration → Fonctions Dériver et étudier : composée, racines, trigonométrie Dérivée, signe, tableau de variations : le trio qui permet de dessiner une fonction sans la tracer point par point. Lire la démonstration → Fonctions Logarithme : propriétés, équations, inéquations, log décimal Le logarithme transforme les produits en sommes : c'est lui qui donne l'échelle des séismes, du pH ou du bruit. Lire la démonstration → Fonctions Limites et étude de fonctions avec ln Le logarithme croît, mais lentement : plus lentement que toute puissance. C'est ce qui règle la plupart des limites. Lire la démonstration → Fonctions Exponentielle : équations, inéquations et limites La fonction qui croît comme elle-même : des populations aux placements, l'exponentielle est partout. Lire la démonstration → Fonctions Étude de fonctions avec exp et ln Quand exponentielle et logarithme se rencontrent dans une même fonction, on étudie les deux comportements l'un après l'autre. Lire la démonstration → Algèbre et géométrie Produit scalaire, orthogonalité et plans dans l'espace Deux vecteurs sont-ils perpendiculaires ? Un seul calcul répond, et il décrit aussi tous les plans de l'espace. Lire la démonstration → Algèbre et géométrie Sphères : équation, plan tangent et intersections Une sphère se décrit par un centre et un rayon ; une équation suffit pour la couper par un plan ou une droite. Lire la démonstration → Algèbre et géométrie Produit vectoriel : aire, plan par trois points et distances Un seul calcul donne un vecteur perpendiculaire à deux autres, et la norme de ce vecteur mesure une aire. Lire la démonstration → Algèbre et géométrie Nombres complexes : calcul, forme trigonométrique et exponentielle Un nombre à deux visages : cartésien pour additionner, polaire pour multiplier. On passe de l'un à l'autre en un geste. Lire la démonstration → Algèbre et géométrie Complexes : équations, géométrie et transformations Les complexes traduisent la géométrie du plan : alignement, perpendiculaires, translations, rotations. Et ils résolvent toute équation du second degré. Lire la démonstration → Probabilités Dénombrement, probabilités et indépendance Combien de menus, de codes, de comités ? Savoir compter proprement est la moitié du travail en probabilités. Lire la démonstration → Probabilités Variables aléatoires et loi binomiale Un jeu de points, un tir au but répété : la variable aléatoire résume l'expérience en un nombre, et la loi binomiale décrit les répétitions. Lire la démonstration → Algèbre et géométrie Bac blanc : méthodes d'ensemble avant l'examen national À l'examen, les parties se mélangent. Cette fiche rappelle trois méthodes transversales : optimiser, lire un graphique, se ramener au second degré. Lire la démonstration →

Algèbre et géométrie Arithmétique : PGCD, Bézout, Gauss, Fermat et équation ax + by = c Partager 252 balles en équipes égales, synchroniser deux horaires : l'arithmétique répond avec le PGCD et le PPCM, et résout des équations en nombres entiers. Lire la démonstration → Algèbre et géométrie Numération, congruences et Z/nZ L'heure, le jour de la semaine, le code d'un ordinateur en binaire : tout cela se calcule avec des restes, et les congruences en donnent le mode d'emploi. Lire la démonstration → Algèbre et géométrie Structures algébriques : lois, groupes, anneaux, corps, espaces vectoriels Additionner des nombres, composer des transformations, multiplier des matrices : derrière ces calculs se cachent les mêmes règles, que les structures algébriques rassemblent. Lire la démonstration → Algèbre et géométrie Nombres complexes : calcul algébrique et équations du second degré Les nombres complexes donnent une solution à toutes les équations du second degré, même quand le discriminant est négatif : les racines viennent alors par paires conjuguées. Lire la démonstration → Algèbre et géométrie Nombres complexes : forme trigonométrique, Moivre, géométrie et racines de l'unité Un nombre complexe est aussi un point du plan : son module est une distance, son argument un angle. Les rotations, les alignements et les polygones réguliers se calculent alors par des produits. Lire la démonstration → Analyse Primitives et équations différentielles du premier et du second ordre Un refroidissement, un ressort qui oscille : ces phénomènes relient une fonction à ses dérivées. Savoir remonter de la dérivée à la fonction permet de les résoudre. Lire la démonstration → Analyse Intégrales : parties, changement de variable, valeur moyenne, sommes de Riemann Une intégrale additionne une infinité de petites tranches : elle donne une aire, une valeur moyenne, et la limite de certaines sommes. Lire la démonstration → Analyse Aires, volumes de révolution et fonctions définies par une intégrale Aire d'une parcelle délimitée par deux courbes, volume d'une pièce tournée : le calcul intégral mesure les formes que les formules de géométrie ne savent pas traiter. Lire la démonstration → Fonctions Continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dichotomie et bijection Une fonction continue se trace sans lever le crayon : c'est ce qui garantit qu'elle passe par toutes les valeurs intermédiaires, donc qu'une équation a bien une solution. Lire la démonstration → Fonctions Fonctions réciproques : racines n-ièmes, Arctan, dérivée de f⁻¹ Défaire ce que fait une fonction : la racine est la réciproque du carré, Arctan celle de la tangente. Et sa dérivée se calcule sans connaître son expression. Lire la démonstration → Fonctions Dérivées composées, variations, branches infinies et étude de fonctions Étudier une fonction, c'est la raconter : où elle est définie, ce qu'elle devient aux bornes, quand elle monte et quand elle descend, et à quoi ressemble sa courbe. Lire la démonstration → Fonctions Logarithmes : propriétés, équations, inéquations, systèmes, logarithme décimal Le logarithme transforme les produits en sommes : c'est l'outil qui mesure la durée d'un doublement de capital ou le nombre de chiffres d'un grand nombre. Lire la démonstration → Fonctions Logarithme : limites fondamentales, dérivée logarithmique, étude de fonctions Le logarithme croît plus lentement que n'importe quelle puissance : cette seule idée suffit à lever la plupart des formes indéterminées d'une étude de fonction. Lire la démonstration → Fonctions Exponentielle : propriétés, équations, inéquations, systèmes, limites fondamentales L'exponentielle décrit ce qui croît très vite : un virus, un placement, un enchaînement de doublements. Ses règles de calcul tiennent en quelques lignes. Lire la démonstration → Fonctions Exponentielle : primitives, extremums et fonctions mêlant exp et ln Associer exponentielle et logarithme, c'est étudier des courbes qui montent, redescendent et se stabilisent : un médicament dans le sang, un amortissement. Lire la démonstration → Probabilités Probabilités : conditionnement, dénombrement, variables aléatoires et loi binomiale Un tirage, un test, un QCM répondu au hasard : les probabilités transforment l'incertitude en nombres que l'on peut comparer et combiner. Lire la démonstration → Probabilités Bac blanc : suites, fonctions, intégrale, complexes, arithmétique, probabilités L'examen national mêle l'analyse, l'algèbre et les probabilités : cette série reprend les gestes de chaque partie, sans savoir à l'avance quel chapitre arrive. Lire la démonstration → Analyse Limites de suites : références, encadrement, définition, suites adjacentes Une suite se rapproche-t-elle d'un nombre, ou s'enfuit-elle vers l'infini ? Les limites répondent, et l'encadrement permet de le prouver proprement. Lire la démonstration → Analyse Suites récurrentes : uₙ₊₁ = a·uₙ + b, homographiques, uₙ₊₁ = f(uₙ) Un solde qui évolue chaque mois, une population qui se stabilise : une suite définie par récurrence se rapproche souvent d'un point fixe, que l'on sait calculer. Lire la démonstration → Analyse Rolle, accroissements finis et suites uₙ₊₁ = f(uₙ) Entre deux points d'une courbe, il existe toujours un endroit où la tangente est parallèle à la corde : cette idée sert à encadrer des nombres et à prouver qu'une suite converge. Lire la démonstration →