Probabilités · Tle
Succession d'épreuves indépendantes
Répéter une expérience au hasard, encore et encore : la probabilité de tout un scénario tient dans un seul produit, à condition que les épreuves ne se gênent jamais entre elles.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- épreuves indépendantes
- Des épreuves dont le résultat de l'une n'influence JAMAIS la probabilité des autres — une hypothèse à justifier par le contexte (tirage AVEC remise, dés différents…), jamais à supposer par habitude.
- succession d'épreuves quelconques
- Plusieurs épreuves indépendantes, mais qui n'ont pas forcément la même probabilité de succès d'une épreuve à l'autre — à distinguer du schéma de Bernoulli, où elles sont en plus identiques.
Ce qu'on sait
- Le modèle de la succession d'épreuves indépendantes : Des épreuves dont le résultat de l'une n'influence JAMAIS la probabilité des autres — une hypothèse à justifier par le contexte (tirage AVEC remise, dés différents…), jamais à supposer par habitude. énonce que la probabilité d'une issue (x₁, …, xₙ) est égale au produit des probabilités de chacune de ses composantes xᵢ.
- Cette succession se représente par un arbre : la probabilité d'un chemin, du sommet à une feuille, est le produit des probabilités portées par ses branches (règle du chemin).
- L'indépendance ne se suppose JAMAIS sans la justifier : un tirage SANS remise, par exemple, ne donne pas des épreuves indépendantes.
La méthode, étape par étape
1.Je vérifie que les épreuves sont bien indépendantes (remise, expériences physiquement séparées…) : sans cette justification, je ne peux pas multiplier les probabilités.
2.Je représente la situation par un arbre si le nombre d'épreuves est petit (deux ou trois), en inscrivant sur chaque branche la probabilité de l'issue qu'elle porte.
3.Pour une issue précise, je multiplie les probabilités des branches du chemin qui y mène.
4.S'il existe plusieurs chemins menant au même évènement, j'additionne leurs probabilités (règle des chemins), ou je passe par le complémentaire si c'est plus court.
P(x₁, …, xₙ) = P(x₁) × P(x₂) × … × P(xₙ), pour des épreuves indépendantes ; la probabilité d'un chemin d'arbre est le produit de ses branches.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Trois capteurs indépendants surveillent une machine, chacun fiable avec la probabilité 9/10.
2.Probabilité que les trois fonctionnent : 9/10 × 9/10 × 9/10 = 729/1000.
3.Probabilité qu'AU MOINS un tombe en panne (complémentaire) : 1 − 729/1000 = 271/1000.