Probabilités · Tle
Démonstration : espérance et variance de la loi binomiale
Décomposer le nombre total de succès en une somme de petits « 0 ou 1 » indépendants : la linéarité de l'espérance et l'additivité de la variance font le reste du travail.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- variable de Bernoulli
- Une variable aléatoire Xᵢ qui vaut 1 si la i-ième épreuve est un succès, 0 sinon ; elle suit la loi de Bernoulli de paramètre p, avec E(Xᵢ) = p et V(Xᵢ) = p(1 − p).
Ce qu'on sait
- X, le nombre de succès d'un schéma de Bernoulli, se représente comme la somme X = X₁ + X₂ + … + Xₙ de n variable de Bernoulli : Une variable aléatoire Xᵢ qui vaut 1 si la i-ième épreuve est un succès, 0 sinon ; elle suit la loi de Bernoulli de paramètre p, avec E(Xᵢ) = p et V(Xᵢ) = p(1 − p). indépendantes, de même paramètre p.
- La linéarité de l'espérance est TOUJOURS vraie, même sans indépendance : E(X₁ + … + Xₙ) = E(X₁) + … + E(Xₙ).
- L'additivité de la variance, elle, exige l'indépendance des variables sommées : V(X₁ + … + Xₙ) = V(X₁) + … + V(Xₙ) seulement parce que les épreuves du schéma de Bernoulli sont indépendantes.
La méthode, étape par étape
1.Je modélise X, le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de n épreuves indépendantes de paramètre p, comme la somme X = X₁ + X₂ + … + Xₙ de n variables de Bernoulli indépendantes et de même paramètre p.
2.Chaque Xᵢ suit une loi de Bernoulli de paramètre p : E(Xᵢ) = p et V(Xᵢ) = p(1 − p), résultats déjà connus de la classe de première.
3.Par linéarité de l'espérance, valable même sans indépendance : E(X) = E(X₁) + … + E(Xₙ) = n × p.
4.Les variables X₁, …, Xₙ étant INDÉPENDANTES (hypothèse du schéma de Bernoulli), la variance de leur somme est la somme de leurs variances : V(X) = V(X₁) + … + V(Xₙ) = n × p(1 − p).
5.J'en déduis l'écart type : σ(X) = √(n × p(1 − p)).
Pour X suivant la loi binomiale ℬ(n ; p) : E(X) = np, V(X) = np(1 − p), σ(X) = √(np(1 − p)).
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Vérifions la formule sur ℬ(3 ; 1/2), en repartant de sa loi de probabilité : P(X = 0) = 1/8, P(X = 1) = 3/8, P(X = 2) = 3/8, P(X = 3) = 1/8.
2.Calcul direct de l'espérance : E(X) = 0×1/8 + 1×3/8 + 2×3/8 + 3×1/8 = 12/8 = 3/2.
3.La formule donne n × p = 3 × 1/2 = 3/2 : les deux calculs coïncident.
4.Calcul direct de E(X²) : E(X²) = 0×1/8 + 1×3/8 + 4×3/8 + 9×1/8 = 24/8 = 3, d'où V(X) = 3 − (3/2)² = 3 − 9/4 = 3/4.
5.La formule donne n × p × (1 − p) = 3 × 1/2 × 1/2 = 3/4 : les deux calculs coïncident encore.