Probabilités · Tle
Sommes de variables aléatoires
Décomposer une variable compliquée en somme de variables plus simples : l'espérance s'additionne toujours, la variance seulement quand rien ne relie les morceaux entre eux.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- échantillon de taille n
- Une liste (X₁, …, Xₙ) de variables aléatoires INDÉPENDANTES, suivant toutes la MÊME loi de probabilité.
- somme et moyenne d'un échantillon
- Sₙ = X₁ + … + Xₙ, la somme de l'échantillon ; Mₙ = Sₙ/n, sa moyenne.
Ce qu'on sait
- Linéarité de l'espérance, TOUJOURS vraie, indépendance ou non : E(X + Y) = E(X) + E(Y) et E(aX) = a × E(X).
- Additivité de la variance, valable UNIQUEMENT pour des variables indépendantes : V(X + Y) = V(X) + V(Y). Et V(aX) = a² × V(X), quelle que soit la dépendance.
- Pour un échantillon (X₁, …, Xₙ) d'espérance μ et de variance V : E(Sₙ) = nμ, V(Sₙ) = nV, E(Mₙ) = μ, V(Mₙ) = V/n, et σ(Mₙ) = σ/√n.
La méthode, étape par étape
1.Je représente la variable étudiée comme une somme de variables plus simples, si possible indépendantes et identiques (comme dans un schéma de Bernoulli).
2.Pour l'espérance, j'applique la linéarité SANS me soucier de l'indépendance : elle est toujours vraie.
3.Pour la variance, je vérifie D'ABORD l'indépendance des variables sommées : sans elle, je ne peux rien affirmer sur V(X + Y).
4.Pour l'écart type d'une moyenne d'échantillon, je n'oublie JAMAIS la racine carrée de n au dénominateur : σ(Mₙ) = σ/√n, jamais σ/n.
E(X + Y) = E(X) + E(Y) toujours ; V(X + Y) = V(X) + V(Y) seulement si X et Y sont indépendantes ; σ(Mₙ) = σ/√n.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Un échantillon (X₁, …, X₁₆) de taille 16 a pour écart type σ = 8.
2.Écart type de la moyenne : σ(M₁₆) = 8/√16 = 8/4 = 2.
3.Oublier la racine carrée donnerait, à tort, 8/16 = 0,5 : une valeur bien trop petite.