Probabilités · Tle
Problèmes sur la loi binomiale
Au-delà du calcul de P(X = k), la loi binomiale répond à des questions de seuil et d'optimisation : combien faut-il de succès pour dépasser un risque donné ? quelle est la valeur la plus probable ?
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- problème de seuil
- Une question du type « quelle est la plus petite (ou la plus grande) valeur de k telle que P(X ≥ k) [ou P(X ≤ k)] reste inférieure à un risque α donné ? ».
- mode d'une loi binomiale
- La (ou les) valeur(s) de k pour laquelle P(X = k) est maximale — la valeur la plus probable de X, à lire sur le diagramme en barres.
Ce qu'on sait
- Pour X suivant ℬ(n ; p) : E(X) = n × p, V(X) = n × p × (1 − p), σ(X) = √(n × p × (1 − p)).
- P(X ≥ k) est la somme de P(X = k), P(X = k + 1), …, P(X = n) : jamais la seule valeur P(X = k).
- Passer au complémentaire (P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0), par exemple) évite souvent d'additionner de nombreux termes.
La méthode, étape par étape
1.Pour un seuil P(X ≥ k), je choisis entre additionner directement les termes de k à n, ou passer par le complémentaire si celui-ci comporte moins de termes.
2.Pour l'espérance, la variance et l'écart type, j'applique directement les formules n × p, n × p × (1 − p) et leur racine carrée — sans jamais oublier le facteur (1 − p) dans la variance.
3.Pour trouver la valeur la plus probable (le mode), je compare les P(X = k) successives (à la main pour un petit n, ou en lisant un diagramme).
4.Pour un problème de seuil : Une question du type « quelle est la plus petite (ou la plus grande) valeur de k telle que P(X ≥ k) [ou P(X ≤ k)] reste inférieure à un risque α donné ? ». avec un risque α donné, je calcule ou je lis des valeurs cumulées jusqu'à trouver la plus petite (ou la plus grande) valeur de k qui respecte la condition.
Seuil : additionner les P(X = k) concernées, ou passer au complémentaire. Espérance, variance, écart type : E(X) = np, V(X) = np(1 − p), σ(X) = √(np(1 − p)).
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.X suit ℬ(10 ; 0,1) (proportion de pièces défectueuses sur un prélèvement de 10 pièces).
2.On donne P(X ≥ 3) ≈ 0,070 et P(X ≥ 4) ≈ 0,013.
3.Pour garantir un risque au plus égal à 0,05, la plus petite valeur de k qui convient est k = 4, car 0,070 dépasse 0,05 mais 0,013 lui est inférieur.
4.Espérance : E(X) = 10 × 0,1 = 1. Variance : V(X) = 10 × 0,1 × 0,9 = 0,9.