Probabilités · Tle
Concentration et loi des grands nombres
Un écart type mesure la dispersion d'une variable autour de sa moyenne ; l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : Pour une variable aléatoire X d'espérance μ et de variance V(X), et tout réel δ strictement positif : P(|X − μ| ≥ δ) ≤ V(X)/δ². en tire un majorant universel, qui couronne toute la partie « Probabilités » avec la loi des grands nombres : Pour tout δ strictement positif, P(|Mₙ − μ| ≥ δ) tend vers 0 quand la taille n de l'échantillon tend vers +∞..
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- inégalité de Bienaymé-Tchebychev
- Pour une variable aléatoire X d'espérance μ et de variance V(X), et tout réel δ strictement positif : P(|X − μ| ≥ δ) ≤ V(X)/δ².
- inégalité de concentration
- La même idée appliquée à la moyenne Mₙ d'un échantillon de taille n : P(|Mₙ − μ| ≥ δ) ≤ V/(n × δ²), où V est la variance de la variable étudiée.
- loi des grands nombres
- Pour tout δ strictement positif, P(|Mₙ − μ| ≥ δ) tend vers 0 quand la taille n de l'échantillon tend vers +∞.
Ce qu'on sait
- L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne un MAJORANT de la probabilité, jamais sa valeur exacte : la probabilité réelle peut être bien plus petite.
- Dans les deux inégalités, c'est bien la VARIANCE V(X) qui figure au numérateur, jamais l'écart type σ(X) seul (V(X) = σ(X)²).
- Le nombre n, à mesure qu'il grandit, fait diminuer le majorant V/(n × δ²) : c'est le mécanisme même de la concentration et de la loi des grands nombres.
La méthode, étape par étape
1.J'identifie la variance V(X) (et non l'écart type) et le seuil δ de la question, ou la taille n de l'échantillon si l'inégalité de concentration : La même idée appliquée à la moyenne Mₙ d'un échantillon de taille n : P(|Mₙ − μ| ≥ δ) ≤ V/(n × δ²), où V est la variance de la variable étudiée. s'applique.
2.Je remplace ces valeurs dans P(|X − μ| ≥ δ) ≤ V(X)/δ² (variable isolée) ou P(|Mₙ − μ| ≥ δ) ≤ V/(nδ²) (moyenne d'échantillon).
3.Pour déterminer une taille d'échantillon garantissant un risque donné, j'isole n dans l'inégalité : n ≥ V/(δ² × risque).
4.Je garde à l'esprit que le résultat obtenu est un majorant : je ne le confonds jamais avec la valeur exacte de la probabilité.
P(|X − μ| ≥ δ) ≤ V(X)/δ² ; P(|Mₙ − μ| ≥ δ) ≤ V/(nδ²) ; et P(|Mₙ − μ| ≥ δ) tend vers 0 quand n tend vers +∞ (loi des grands nombres).
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Une variable aléatoire a pour variance V = 9. On veut P(|Mₙ − μ| ≥ 0,5) ≤ 0,05.
2.Je résous 9/(n × 0,5²) ≤ 0,05, soit n ≥ 9/(0,25 × 0,05) = 9/0,0125 = 720.
3.La plus petite taille d'échantillon qui convient est donc n = 720.