Probabilités · Tle
Démonstration : la probabilité de k succès dans le schéma de Bernoulli
Compter les chemins d'un arbre qui mènent au même nombre de succès, puis multiplier par leur probabilité commune : voilà toute la formule de la loi binomiale, démontrée d'un seul geste de dénombrement.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- chemin de l'arbre
- Une suite de branches, du sommet à une feuille, représentant une issue précise du schéma de Bernoulli (un ordre déterminé de succès et d'échecs).
- coefficient binomial
- Le nombre (ⁿₖ) de façons de choisir k rangs (les rangs des succès) parmi n rangs disponibles — dit « k parmi n ».
Ce qu'on sait
- Dans un schéma de Bernoulli de n épreuves indépendantes et identiques de paramètre p, chaque épreuve est un succès (probabilité p) ou un échec (probabilité 1 − p).
- Par le modèle de la succession d'épreuves indépendantes, la probabilité d'une issue précise est le produit des probabilités de ses composantes.
- Le nombre de chemin de l'arbre : Une suite de branches, du sommet à une feuille, représentant une issue précise du schéma de Bernoulli (un ordre déterminé de succès et d'échecs). à k succès parmi n épreuves est le coefficient binomial : Le nombre (ⁿₖ) de façons de choisir k rangs (les rangs des succès) parmi n rangs disponibles — dit « k parmi n ». (ⁿₖ).
La méthode, étape par étape
1.Je considère un schéma de Bernoulli de n épreuves indépendantes et identiques, de paramètre p, et je note X le nombre de succès obtenus.
2.Une issue précise à exactement k succès (et n − k échecs, dans un ordre donné) a pour probabilité pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, par indépendance des épreuves.
3.Cette probabilité est la MÊME pour toute issue comportant k succès, quel que soit l'ordre dans lequel ils apparaissent : seul le NOMBRE de succès change la probabilité, jamais leur position.
4.Je dénombre le nombre de chemins de l'arbre menant à exactement k succès : c'est le nombre de façons de choisir les k rangs où le succès apparaît parmi les n rangs disponibles, soit (ⁿₖ) chemins.
5.P(X = k) est la somme des probabilités de tous ces chemins, chacun de même probabilité pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ : je multiplie donc cette probabilité par le nombre de chemins.
6.J'obtiens P(X = k) = (ⁿₖ) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
P(X = k) = (ⁿₖ) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, pour tout entier k tel que 0 ≤ k ≤ n.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Vérifions la formule sur ℬ(3 ; 1/2), en calculant les quatre valeurs possibles de X.
2.P(X = 0) = (³₀) × (1/2)⁰ × (1/2)³ = 1 × 1 × 1/8 = 1/8.
3.P(X = 1) = (³₁) × (1/2)¹ × (1/2)² = 3 × 1/2 × 1/4 = 3/8.
4.P(X = 2) = (³₂) × (1/2)² × (1/2)¹ = 3 × 1/4 × 1/2 = 3/8.
5.P(X = 3) = (³₃) × (1/2)³ × (1/2)⁰ = 1 × 1/8 × 1 = 1/8.
6.La somme des quatre probabilités vaut 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1, comme il se doit pour une loi de probabilité complète.