Probabilités · Tle
Schéma de Bernoulli et loi binomiale
Une pièce, une graine, une pièce défectueuse : dès qu'une expérience n'a que deux issues répétées à l'identique, la loi binomiale en compte les succès sans jamais lister tous les cas.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- épreuve de Bernoulli
- Une expérience aléatoire à deux issues : un succès, de probabilité p, et un échec, de probabilité 1 − p.
- schéma de Bernoulli
- La répétition de n épreuves de Bernoulli INDÉPENDANTES et IDENTIQUES (même paramètre p à chaque répétition).
- loi binomiale ℬ(n ; p)
- La loi de probabilité du nombre X de succès obtenus dans un schéma de Bernoulli de n épreuves de paramètre p.
Ce qu'on sait
- Dans un schéma de Bernoulli : La répétition de n épreuves de Bernoulli INDÉPENDANTES et IDENTIQUES (même paramètre p à chaque répétition)., chaque issue à exactement k succès a la MÊME probabilité pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ, quel que soit l'ordre des succès et des échecs.
- Le nombre de chemins de l'arbre menant à exactement k succès parmi n épreuves est le coefficient binomial (ⁿₖ), dit « k parmi n ».
- Pour X suivant ℬ(n ; p) : P(X = k) = (ⁿₖ) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, pour k entier, 0 ≤ k ≤ n.
La méthode, étape par étape
1.Je vérifie les trois conditions du schéma de Bernoulli : deux issues, épreuves indépendantes, MÊME probabilité p à chaque répétition.
2.J'identifie n (le nombre d'épreuves), p (la probabilité de succès) et k (le nombre de succès demandé).
3.Je calcule (ⁿₖ), le nombre de chemins à k succès, puis je le multiplie par pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, la probabilité commune à chacun de ces chemins.
4.Pour P(X ≤ k) ou P(k ≤ X ≤ k′), j'additionne les P(X = i) correspondants, sans jamais confondre « exactement k » et « au moins k » ou « au plus k ».
P(X = k) = (ⁿₖ) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, où (ⁿₖ) compte les chemins de l'arbre à k succès parmi n épreuves.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.X suit la loi binomiale ℬ(4 ; 0,2) : 4 épreuves, succès de probabilité 0,2.
2.Nombre de chemins à 1 succès : (⁴₁) = 4.
3.Probabilité de chacun de ces chemins : 0,2¹ × 0,8³ = 0,2 × 0,512 = 0,1024.
4.Donc P(X = 1) = 4 × 0,1024 = 0,4096.