Algèbre · TC sciences

Régionnement du plan et programmation linéaire

Chaque inéquation à deux inconnues coupe le plan en deux : il suffit de colorier le bon côté.

Le vocabulaire à connaître

demi-plan: Une des deux parties du plan séparées par une droite, appelée frontière.
région admissible: L'ensemble des points qui vérifient toutes les inéquations d'un système.
sommet: Un coin de la région admissible : le point où deux frontières se coupent.

La droite ax + by = c partage le plan en deux , qui correspondent à ax + by ≤ c et ax + by ≥ c.
Pour savoir quel côté colorier, je teste un point qui n'est pas sur la droite, souvent l'origine.
Le maximum ou le minimum d'une expression du premier degré sur un polygone est atteint en un .

1.Je trace la droite frontière avec deux de ses points.

2.Je teste l'origine : je remplace x et y par 0 dans l'inéquation.

3.Je colorie le demi-plan qui contient l'origine si l'inégalité est vraie, l'autre sinon ; la droite est incluse si l'inégalité est large.

4.Pour un système, je garde l'intersection des régions, je repère les sommets et je calcule l'expression à optimiser en chacun.

Sur la , l'expression du premier degré est maximale ou minimale en un sommet.

C.Q.F.D.

1.Les contraintes x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 5 et y ≤ 3 donnent les sommets (0 ; 0), (5 ; 0), (2 ; 3) et (0 ; 3). Le gain est G = 2x + 3y.

2.Au sommet (0 ; 0) : 2 × 0 + 3 × 0 = 0. Au sommet (5 ; 0) : 2 × 5 + 3 × 0 = 10.

3.Au sommet (0 ; 3) : 2 × 0 + 3 × 3 = 9.

4.Au sommet (2 ; 3) : 2 × 2 + 3 × 3 = 13.

5.Le gain maximal est 13, atteint au sommet (2 ; 3).