Algèbre · TC sciences
Systèmes de deux équations : substitution, combinaison, déterminant
Trois méthodes pour une même réponse : choisis celle qui demande le moins de calculs.
Le vocabulaire à connaître
- système
- Deux équations qui doivent être vraies en même temps pour les mêmes inconnues x et y.
- déterminant
- Pour le système ax + by = c et a′x + b′y = c′, le nombre D = ab′ − a′b.
Ce qu'on sait
- Si D est différent de 0, le système : Deux équations qui doivent être vraies en même temps pour les mêmes inconnues x et y. a une seule solution : x = Dₓ / D et y = D_y / D, avec Dₓ = cb′ − c′b et D_y = ac′ − a′c.
- Si D vaut 0, le système n'a aucune solution ou en a une infinité.
- Pour mettre un problème en système, je nomme les deux inconnues et j'écris une équation par information.
La méthode, étape par étape
1.J'écris les deux équations sous la forme ax + by = c.
2.Je choisis la méthode : substitution si un coefficient vaut 1, combinaison si des coefficients sont opposés ou multiples, déterminant : Pour le système ax + by = c et a′x + b′y = c′, le nombre D = ab′ − a′b. sinon.
3.Je calcule une inconnue, puis l'autre.
4.Je vérifie dans les deux équations.
Je calcule D : s'il n'est pas nul, j'obtiens x et y, et je vérifie dans les deux équations.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Résolvons 2x + 3y = 11 et 4x − 3y = 13 : les termes en y sont opposés.
2.J'additionne les deux équations : 2 + 4 = 6 pour x, et 11 + 13 = 24 à droite.
3.Donc 6x = 24, soit x = 4.
4.Dans la première équation : 2 × 4 + 3y = 11, donc 3y = 3 et y = 1.
5.Contrôle dans la seconde : 4 × 4 − 3 × 1 = 13.