Algèbre · TC sciences

Racines d'un polynôme et division par x − a

Si a est une , le facteur x − a se cache dans le : la méthode de Horner le fait sortir en quelques lignes.

Le vocabulaire à connaître

polynôme: Une somme de termes de la forme axⁿ, comme x³ − 4x² + x + 6. Le plus grand exposant est le degré.
racine: Un nombre a tel que P(a) = 0.
quotient et reste: Diviser P par x − a, c'est écrire P(x) = (x − a) × Q(x) + R où R est un nombre : Q est le quotient et R le reste.

Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients de même degré sont égaux.
Le reste de la division de P par x − a est le nombre P(a).
P est divisible par x − a si et seulement si a est une racine de P.

1.J'écris les coefficients de P dans l'ordre des degrés décroissants, avec un 0 pour chaque terme manquant.

2.Je recopie le premier coefficient.

3.Chaque nouveau nombre est le coefficient suivant plus a fois le nombre précédent.

4.Le dernier nombre est le reste ; les autres sont les coefficients du quotient.

P(x) = (x − a) × Q(x) + P(a) : le dernier nombre de la méthode de Horner est le reste P(a).

C.Q.F.D.

1.Divisons x³ − 4x² + x + 6 par x − 2. Les coefficients sont 1, −4, 1 et 6, et a vaut 2.

2.Je recopie 1. Puis −4 + 2 × 1 = −2.

3.Ensuite 1 + 2 × (−2) = −3.

4.Enfin 6 + 2 × (−3) = 0 : le reste est nul, donc 2 est une racine.

5.Le quotient est x² − 2x − 3, et x³ − 4x² + x + 6 = (x − 2)(x² − 2x − 3).