Fonctions · TC sciences

Parabole, fonction homographique et fonction a/x

Trois familles de courbes, trois recettes pour les tracer sans changer de repère.

Le vocabulaire à connaître

sommet d'une parabole: Le point où la courbe de ax² + bx + c change de sens de variation.
fonction homographique: Une fonction de la forme (ax + b) / (cx + d).
asymptote: Une droite dont la courbe se rapproche autant qu'on veut sans la toucher.

La courbe de ax² + bx + c est une parabole de sommet d'abscisse −b / (2a) : ouverte vers le haut si a est positif, vers le bas s'il est négatif.
La fonction (ax + b) / (cx + d) a une verticale x = −d / c et une asymptote horizontale y = a / c.
La fonction k / x est monotone sur chacun des intervalles ]−∞ ; 0[ et ]0 ; +∞[ : décroissante si k est positif, croissante si k est négatif.

1.Pour une parabole, je calcule l'abscisse du sommet puis son ordonnée.

2.Je cherche les points d'intersection avec les axes : f(0) pour l'axe des ordonnées, les racines pour l'axe des abscisses.

3.Pour une , je trace d'abord les deux asymptotes puis je calcule quelques points.

4.Je trace la courbe en utilisant la symétrie.

Le sommet donne les variations et l'extremum d'une parabole ; les asymptotes guident le tracé d'une hyperbole.

C.Q.F.D.

1.Cherchons le sommet de la parabole de f(x) = x² − 4x + 1.

2.L'abscisse du sommet est 4 / (2 × 1) = 2.

3.Son ordonnée est f(2) = 2² − 4 × 2 + 1 = 4 − 8 + 1 = −3.

4.Elle coupe l'axe des ordonnées en f(0) = 1.

5.Le sommet est le point (2 ; −3), et 2² − 4 × 2 + 1 = −3.