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Radians, cercle trigonométrique et équations

Sur le , le cosinus est l'abscisse d'un point et le sinus son ordonnée.

Le vocabulaire à connaître

radian: Une unité d'angle : un angle plat mesure π radians, soit 180 degrés.
cercle trigonométrique: Le cercle de rayon 1, orienté, sur lequel on enroule la droite des réels.
période: Le plus petit nombre T tel que f(x + T) = f(x) : 2π pour le sinus et le cosinus.

180° = π rad. Pour tout x, cos²x + sin²x = 1 et tan x = sin x / cos x.
Valeurs usuelles : sin vaut 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1 et cos vaut 1, √3/2, √2/2, 1/2, 0 pour 0, π/6, π/4, π/3, π/2.
Angles associés : cos(π − x) = −cos x, sin(π − x) = sin x. Le cosinus est pair, le sinus est impair.

1.Je convertis les angles si besoin : degrés en ou l'inverse, en remplaçant π par 180°.

2.Je situe le point sur le cercle trigonométrique.

3.Pour une équation, je repère les deux points qui ont l'abscisse (cos) ou l'ordonnée (sin) demandée.

4.Je donne les solutions de l'intervalle demandé, et je choisis les bornes selon que l'inégalité est large ou stricte.

Une équation trigonométrique a en général deux solutions par tour de cercle.

C.Q.F.D.

1.Résolvons sin x = 1/2 sur l'intervalle [0 ; 2π].

2.Je sais que sin(π/6) = 1/2 : la première solution est π/6, soit 30°.

3.Le sinus est l'ordonnée : l'autre point est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, à 180° − 30° = 150°.

4.Et 150° = 150/180 × π = 5π/6.

5.Les solutions sont π/6 et 5π/6.