Géométrie · 1re
Produit scalaire : définitions et calcul
Un seul nombre pour résumer deux vecteurs : leur longueur, et l'angle qui les sépare — le produit scalaire : Un nombre réel associé à deux vecteurs u et v, noté u ⋅ v, qui mesure à la fois leurs longueurs et l'angle qui les sépare. ouvre une nouvelle façon de démontrer en géométrie.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- produit scalaire
- Un nombre réel associé à deux vecteurs u et v, noté u ⋅ v, qui mesure à la fois leurs longueurs et l'angle qui les sépare.
- vecteurs orthogonaux
- Deux vecteurs dont l'angle géométrique mesure 90°. Leur produit scalaire vaut alors 0, car cos(90°) = 0.
- projeté orthogonal
- Le point H d'une droite tel que la perpendiculaire à cette droite passant par un point donné M passe aussi par H.
Ce qu'on sait
- Le produit scalaire se calcule par u ⋅ v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos(θ), où θ est l'angle géométrique entre les deux vecteurs.
- Le produit scalaire est SYMÉTRIQUE (u ⋅ v = v ⋅ u) et BILINÉAIRE : il se distribue sur une somme de vecteurs, et un coefficient multiplicatif en sort.
- Un produit scalaire peut aussi se calculer à partir d'une projection orthogonale, ou à partir des coordonnées des deux vecteurs (une autre fiche).
La méthode, étape par étape
1.Je repère les données disponibles : deux normes et un angle, une configuration à projeter, ou des coordonnées.
2.S'il y a un angle connu, j'applique directement u ⋅ v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos(θ), en faisant attention au signe du cosinus si l'angle est obtus.
3.Sinon, je cherche le projeté orthogonal : Le point H d'une droite tel que la perpendiculaire à cette droite passant par un point donné M passe aussi par H. H d'un point sur la droite portant l'autre vecteur, et je calcule le produit scalaire à partir de la longueur signée obtenue.
4.Pour une somme ou un multiple de vecteurs, j'utilise la bilinéarité pour développer le calcul, terme par terme.
Trois méthodes pour calculer u ⋅ v : par les normes et l'angle, par projection orthogonale, ou par bilinéarité à partir de produits scalaires déjà connus.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Soit u et v tels que ‖u‖ = 4, ‖v‖ = 3, avec un angle de 60° entre eux.
2.u ⋅ v = 4 × 3 × cos(60°).
3.4 × 3 × 0,5 = 6.