Géométrie · 1re
Al-Kashi, angles et longueurs
Le théorème de Pythagore ne connaît que les triangles rectangles : la formule d'Al-Kashi : Dans un triangle ABC, la relation BC² = AB² + AC² − 2 × AB × AC × cos(A), qui généralise le théorème de Pythagore à un triangle quelconque., elle, calcule une longueur ou un angle dans un triangle QUELCONQUE.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- formule d'Al-Kashi
- Dans un triangle ABC, la relation BC² = AB² + AC² − 2 × AB × AC × cos(A), qui généralise le théorème de Pythagore à un triangle quelconque.
- polarisation
- Le fait de retrouver un produit scalaire à partir de trois normes déjà connues, par la formule u ⋅ v = (‖u + v‖² − ‖u‖² − ‖v‖²) / 2.
Ce qu'on sait
- Formule d'Al-Kashi : dans un triangle ABC, BC² = AB² + AC² − 2 × AB × AC × cos(A), où l'angle en A est l'angle du triangle au sommet A.
- Le cosinus d'un angle obtus est NÉGATIF : cos(120°) = −0,5, alors que cos(60°) = 0,5.
- Par bilinéarité, ‖u + v‖² = ‖u‖² + 2 × (u ⋅ v) + ‖v‖², et le signe du terme central s'inverse pour ‖u − v‖².
La méthode, étape par étape
1.Pour une longueur, j'identifie les deux côtés connus et l'angle compris entre eux, et j'applique la formule d'Al-Kashi.
2.Pour un angle, je réarrange la formule : cos(A) = (AC² + AB² − BC²)/(2 × AC × AB), à partir des trois longueurs.
3.Pour un carré de norme d'une somme ou d'une différence de vecteurs, je développe par bilinéarité, en surveillant le signe du terme central.
4.Pour retrouver un produit scalaire à partir de normes, j'utilise la formule de polarisation : Le fait de retrouver un produit scalaire à partir de trois normes déjà connues, par la formule u ⋅ v = (‖u + v‖² − ‖u‖² − ‖v‖²) / 2..
BC² = AB² + AC² − 2 × AB × AC × cos(A) ; ‖u ± v‖² = ‖u‖² ± 2(u ⋅ v) + ‖v‖².
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Prenons un triangle ABC avec AB = 6 cm, AC = 8 cm et un angle en A de 90°.
2.BC² = 6² + 8² − 2 × 6 × 8 × cos(90°).
3.36 + 64 − 0 = 100.
4.BC = √100 = 10 cm.
5.On retrouve exactement le théorème de Pythagore : c'est cohérent, puisque cos(90°) = 0 annule le terme correctif.