Géométrie · 1re
Produit scalaire en coordonnées
En base orthonormée : Un repère dont les deux vecteurs de base sont perpendiculaires et de longueur 1 : les formules du produit scalaire en coordonnées n'y sont valables que dans ce cadre., un seul calcul sur les coordonnées suffit : xx′ + yy′, et le produit scalaire livre aussitôt orthogonalité, norme et distance.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- base orthonormée
- Un repère dont les deux vecteurs de base sont perpendiculaires et de longueur 1 : les formules du produit scalaire en coordonnées n'y sont valables que dans ce cadre.
- critère d'orthogonalité
- Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire vaut 0.
Ce qu'on sait
- En base orthonormée, u(x ; y) ⋅ v(x′ ; y′) = xx′ + yy′.
- La norme se calcule par ‖u‖ = √(x² + y²), car ‖u‖² = u ⋅ u.
- u et v sont orthogonaux si et seulement si xx′ + yy′ = 0.
- La distance AB est la norme du vecteur AB : je calcule d'abord ses coordonnées, puis sa norme.
La méthode, étape par étape
1.Je repère les coordonnées (x ; y) et (x′ ; y′) des deux vecteurs, ou je les calcule à partir des points donnés.
2.Pour un produit scalaire, je calcule xx′ + yy′.
3.Pour une norme ou une distance, je calcule x² + y², puis j'en prends la racine carrée (je la laisse sous la racine si ce n'est pas un carré parfait).
4.Pour tester une orthogonalité, je vérifie si xx′ + yy′ = 0.
u ⋅ v = xx′ + yy′ ; ‖u‖ = √(x² + y²) ; orthogonaux si et seulement si xx′ + yy′ = 0.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Soit u(3 ; 4) et v(−1 ; 2).
2.u ⋅ v = 3 × (−1) + 4 × 2.
3.−3 + 8 = 5.