Géométrie · 1re
Vecteur normal à une droite
Un vecteur perpendiculaire à une droite suffit pour en écrire l'équation, la comparer à une autre, ou projeter n'importe quel point dessus.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- vecteur normal
- Un vecteur perpendiculaire à la direction d'une droite. Pour la droite d'équation ax + by + c = 0, le vecteur n(a ; b) est normal à cette droite.
- vecteur directeur
- Un vecteur qui dirige une droite (parallèle à elle). Il est toujours orthogonal au vecteur normal de la même droite.
Ce qu'on sait
- Pour la droite d'équation ax + by + c = 0, le vecteur n(a ; b) lui est normal.
- M(x ; y) appartient à la droite passant par A et de vecteur normal : Un vecteur perpendiculaire à la direction d'une droite. Pour la droite d'équation ax + by + c = 0, le vecteur n(a ; b) est normal à cette droite. n(a ; b) si et seulement si AM est orthogonal à n, soit a(x − xA) + b(y − yA) = 0.
- Le projeté orthogonal H d'un point M sur une droite d de vecteur normal n vérifie MH colinéaire à n : H = M + t × n, pour un réel t que je détermine en écrivant que H appartient à d.
La méthode, étape par étape
1.Pour lire un vecteur normal, j'identifie a et b dans l'équation ax + by + c = 0 : n(a ; b) est normal à la droite.
2.Pour écrire une équation à partir d'un point A et d'un vecteur normal n(a ; b), j'écris a(x − xA) + b(y − yA) = 0, puis je développe et je réduis.
3.Pour un projeté orthogonal H de M sur d, je pose H = M + t × n, et je remplace dans l'équation de d pour trouver t.
4.Pour comparer deux droites, je compare leurs vecteurs normaux : colinéaires, les droites sont parallèles ; orthogonaux (produit scalaire nul), les droites sont perpendiculaires.
Le vecteur n(a ; b) est normal à la droite ax + by + c = 0 ; son équation à partir d'un point A est a(x − xA) + b(y − yA) = 0.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Cherchons une équation de la droite passant par A(1 ; 2) et de vecteur normal n(3 ; −1).
2.3(x − 1) − 1(y − 2) = 0.
3.3x − 3 − y + 2 = 0.
4.donc 3x − y − 1 = 0.