Géométrie · 1re
Démonstration : la formule d'Al-Kashi
Décomposer un côté du triangle en deux vecteurs, puis développer son carré grâce au produit scalaire : Pythagore se généralise à un triangle quelconque.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- relation de Chasles
- Pour tous points A, B, C : AC = AB + BC, ou de façon équivalente BC = AC − AB.
Ce qu'on sait
- Le carré de la norme d'un vecteur s'obtient par son produit scalaire avec lui-même : ‖w‖² = w ⋅ w.
- Le produit scalaire est bilinéaire et symétrique : il se développe comme un produit de nombres, terme à terme.
- Pour deux vecteurs u et v d'origine commune formant un angle en ce sommet, u ⋅ v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos(θ).
La méthode, étape par étape
1.Je pars du triangle ABC et je décompose le côté BC à l'aide de la relation de Chasles : Pour tous points A, B, C : AC = AB + BC, ou de façon équivalente BC = AC − AB. : BC = AC − AB.
2.Je calcule le carré de sa norme grâce au produit scalaire d'un vecteur par lui-même : BC² = BC ⋅ BC = (AC − AB) ⋅ (AC − AB).
3.Je développe ce produit scalaire par bilinéarité et symétrie, comme un produit de deux nombres : (AC − AB) ⋅ (AC − AB) = AC ⋅ AC − 2 × AC ⋅ AB + AB ⋅ AB.
4.Je remplace chaque produit scalaire d'un vecteur par lui-même par le carré de sa norme : AC ⋅ AC = AC² et AB ⋅ AB = AB².
5.Le terme central s'exprime avec la formule du cosinus : AC ⋅ AB = AC × AB × cos(A), où l'angle en A est l'angle du triangle au sommet A.
6.Je remplace et je réorganise : BC² = AB² + AC² − 2 × AB × AC × cos(A) — c'est la formule d'Al-Kashi.
Dans un triangle ABC, BC² = AB² + AC² − 2 × AB × AC × cos(A), où l'angle en A est l'angle du triangle au sommet A.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Prenons un triangle ABC avec AB = 5 cm, AC = 8 cm, et un angle en A de 60°, donc cos(A) = 0,5.
2.BC² = 5² + 8² − 2 × 5 × 8 × 0,5.
3.25 + 64 − 40 = 49.
4.BC = √49 = 7 cm.