Géométrie · 1re
Équations de cercles
Un cercle entier tient dans une seule égalité : la distance de chaque point de son centre reste toujours la même, égale au rayon.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- équation d'un cercle
- Pour un cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r, l'égalité (x − a)² + (y − b)² = r², vérifiée par les coordonnées (x ; y) de chacun de ses points, et par eux seuls.
- forme canonique
- L'écriture (x − a)² + (y − b)² = r², qui donne directement le centre et le rayon. Une équation développée (avec des termes en x² et en x séparés) doit d'abord y être ramenée en complétant le carré.
Ce qu'on sait
- Le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r a pour équation (x − a)² + (y − b)² = r².
- Un point M(xM ; yM) appartient au cercle si et seulement si (xM − a)² + (yM − b)² = r².
- Une somme de deux carrés ne peut jamais être négative : si l'équation ramenée donne un r² négatif, ce n'est pas un cercle.
La méthode, étape par étape
1.Pour écrire une équation à partir du centre et du rayon, je remplace directement a, b et r² dans (x − a)² + (y − b)² = r².
2.Pour lire un centre et un rayon depuis la forme canonique : L'écriture (x − a)² + (y − b)² = r², qui donne directement le centre et le rayon. Une équation développée (avec des termes en x² et en x séparés) doit d'abord y être ramenée en complétant le carré., je prends l'OPPOSÉ de chaque constante soustraite à x et à y, et la racine carrée du membre de droite.
3.Pour une équation développée, je regroupe les termes en x, puis les termes en y, et je complète chaque carré séparément avant de réduire.
4.Pour tester l'appartenance d'un point, je remplace ses coordonnées dans l'équation et je compare le résultat à r².
Le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r a pour équation (x − a)² + (y − b)² = r².
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Le cercle de centre Ω(1 ; −2) et de rayon 3 a pour équation (x − 1)² + (y + 2)² = 9.
2.Testons le point M(4 ; −2) : (4 − 1)² + (−2 + 2)² = 3² + 0² = 9.
3.M appartient bien au cercle, car 9 = r².