Algèbre et géométrie · Tle
Représentations paramétriques et équations cartésiennes
Un repère de l'espace transforme toute question de géométrie en un système d'équations : droites et plans deviennent des formules qu'on résout, plutôt que des figures qu'on imagine.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- représentation paramétrique
- Un système qui donne les coordonnées de TOUS les points d'une droite en fonction d'un paramètre k : x = x₀ + ak, y = y₀ + bk, z = z₀ + ck.
- équation cartésienne d'un plan
- Une équation de la forme ax + by + cz + d = 0 vérifiée par TOUS les points du plan, et seulement eux, où (a ; b ; c) sont les coordonnées d'un vecteur normal au plan.
Ce qu'on sait
- La droite passant par A(xA ; yA ; zA) et de vecteur directeur u(a ; b ; c) a pour représentation paramétrique : Un système qui donne les coordonnées de TOUS les points d'une droite en fonction d'un paramètre k : x = x₀ + ak, y = y₀ + bk, z = z₀ + ck. x = xA + ak, y = yA + bk, z = zA + ck.
- Dans un système paramétrique, les coefficients devant k donnent le vecteur directeur ; les termes constants donnent un point de la droite (celui obtenu pour k = 0).
- M appartient à une droite paramétrée si et seulement s'il existe UNE valeur de k qui vérifie SIMULTANÉMENT les trois équations.
- Le plan passant par A(xA ; yA ; zA) et de vecteur normal n(a ; b ; c) a pour équation cartésienne a(x − xA) + b(y − yA) + c(z − zA) = 0.
La méthode, étape par étape
1.Pour écrire une représentation paramétrique, je place les coordonnées du point en constantes, et celles du vecteur directeur en coefficients de k.
2.Pour tester l'appartenance d'un point, je déduis k d'UNE seule équation (souvent celle en x), puis je vérifie qu'il convient aux deux autres.
3.Pour une équation de plan, je développe a(x − xA) + b(y − yA) + c(z − zA) = 0 et je regroupe la constante.
4.Pour une intersection droite-plan, je substitue les expressions paramétriques de x, y, z dans l'équation du plan, et je résous en k.
Droite : x = x₀ + ak, y = y₀ + bk, z = z₀ + ck. Plan : ax + by + cz + d = 0, de vecteur normal (a ; b ; c). Intersection : on substitue, puis on résout.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.La droite d a pour représentation paramétrique x = 1 + k, y = 2 − k, z = 3 + 2k, et le plan P a pour équation x + y + z − 10 = 0.
2.Je substitue : (1 + k) + (2 − k) + (3 + 2k) − 10 = 0.
3.−4 + 2k = 0, donc k = 2.
4.Le point d'intersection a pour coordonnées (1 + 2 ; 2 − 2 ; 3 + 4) = (3 ; 0 ; 7).