Algèbre et géométrie · Tle
Produit scalaire dans l'espace
xx′ + yy′ devient xx′ + yy′ + zz′ : le produit scalaire s'étend à l'espace avec un seul terme de plus — mais c'est justement celui qu'on oublie.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- vecteur normal à un plan
- Un vecteur non nul orthogonal à TOUS les vecteurs de la direction du plan. Pour le plan d'équation ax + by + cz + d = 0, le vecteur n(a ; b ; c) lui est normal.
- projeté orthogonal sur un plan
- Le point H du plan tel que MH soit colinéaire au vecteur normal du plan : c'est le point du plan le plus proche de M.
Ce qu'on sait
- En base orthonormée, u(x ; y ; z) ⋅ v(x′ ; y′ ; z′) = xx′ + yy′ + zz′ — TROIS produits à additionner, pas deux.
- La norme se calcule par ‖u‖ = √(x² + y² + z²).
- Deux vecteurs (ou deux droites, par leurs vecteurs directeurs) sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
- La distance d'un point A(xA ; yA ; zA) au plan d'équation ax + by + cz + d = 0 vaut |a×xA + b×yA + c×zA + d| / ‖n‖, avec n(a ; b ; c).
La méthode, étape par étape
1.Je repère les coordonnées des vecteurs concernés, ou j'identifie le vecteur normal à partir de l'équation du plan.
2.Pour un produit scalaire ou une norme, je calcule bien les TROIS termes (x, y ET z), jamais deux seulement.
3.Pour tester une orthogonalité, je vérifie si le produit scalaire est nul.
4.Pour une distance point-plan, j'applique la formule avec le vecteur normal, sans oublier de diviser par sa norme.
u ⋅ v = xx′ + yy′ + zz′ ; ‖u‖ = √(x² + y² + z²) ; distance au plan = |a·xA + b·yA + c·zA + d| / ‖n‖.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Le plan P a pour équation x + 2y + 2z − 3 = 0 : son vecteur normal est n(1 ; 2 ; 2), de norme √(1² + 2² + 2²) = √9 = 3.
2.Je calcule la distance du point O(0 ; 0 ; 0) à P.
3.|1 × 0 + 2 × 0 + 2 × 0 − 3| = 3.
4.3 / 3 = 1.
5.La distance de O au plan P vaut 1.