Algèbre et géométrie · Tle
Vecteurs de l'espace
Le calcul vectoriel du plan se prolonge dans l'espace sans rien perdre — sauf qu'il faut désormais surveiller TROIS coordonnées, pas deux, avant de conclure.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- combinaison linéaire
- Un vecteur obtenu en additionnant des multiples d'autres vecteurs, comme w = 2u − 3v.
- vecteurs coplanaires
- Trois vecteurs de l'espace tels que l'un s'écrit comme combinaison linéaire des deux autres.
- base de l'espace
- Trois vecteurs non coplanaires : tout vecteur de l'espace se décompose alors, de façon UNIQUE, comme combinaison linéaire de ces trois vecteurs.
Ce qu'on sait
- Une combinaison linéaire : Un vecteur obtenu en additionnant des multiples d'autres vecteurs, comme w = 2u − 3v. de vecteurs de l'espace se calcule coordonnée par coordonnée, exactement comme dans le plan, mais sur TROIS coordonnées.
- u et v sont colinéaires s'il existe un réel t tel que u = t × v — la MÊME relation doit être vérifiée sur les trois coordonnées à la fois.
- Trois vecteurs sont coplanaires si l'un est combinaison linéaire des deux autres ; ils forment une base de l'espace : Trois vecteurs non coplanaires : tout vecteur de l'espace se décompose alors, de façon UNIQUE, comme combinaison linéaire de ces trois vecteurs. dans le cas contraire.
- Décomposer un vecteur w sur une base (i ; j ; k), c'est trouver x, y, z tels que w = xi + yj + zk : ce triplet (x ; y ; z) donne les coordonnées de w dans cette base.
La méthode, étape par étape
1.Pour une combinaison linéaire, je calcule chaque terme séparément, coordonnée par coordonnée, puis j'additionne.
2.Pour tester une colinéarité, je cherche le rapport t entre deux coordonnées, PUIS je vérifie qu'il est bien le même sur la troisième.
3.Pour tester une coplanarité, je cherche s'il existe des réels a et b tels qu'un des trois vecteurs soit égal à a fois le premier plus b fois le second — un système à résoudre coordonnée par coordonnée.
4.Si aucune combinaison linéaire de deux des vecteurs ne donne le troisième, les trois vecteurs ne sont pas coplanaires : ils forment une base.
Colinéaires : même rapport sur les TROIS coordonnées. Coplanaires : l'un est combinaison linéaire des deux autres. Sinon : base de l'espace.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Soit u(1 ; 1 ; 1), v(2 ; 0 ; −1) et w(4 ; 2 ; 1). Je cherche si w = au + bv.
2.La deuxième coordonnée donne a = 2 (car 0 × b n'apporte rien : 2 = 2 × 1 + b × 0).
3.Je vérifie sur les deux autres : 2 × 1 + 1 × 2 = 4 et 2 × 1 + 1 × (−1) = 1.
4.Les trois coordonnées correspondent : w = 2u + v. Les trois vecteurs sont coplanaires.