Algèbre et géométrie · Tle
Droites et plans de l'espace
Dans l'espace, deux droites qui ne se coupent pas ne sont pas forcément parallèles : il faut désormais compter TROIS positions relatives, pas deux.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- vecteur directeur
- Un vecteur non nul qui donne la direction d'une droite. Une droite est entièrement caractérisée par un point et un vecteur directeur.
- droites non coplanaires
- Deux droites de l'espace qui ne sont ni parallèles ni sécantes : elles n'appartiennent à aucun plan commun (contrairement au plan, où deux droites sont toujours sécantes ou parallèles).
- direction d'un plan
- L'ensemble des vecteurs colinéaires aux combinaisons linéaires des deux vecteurs non colinéaires qui dirigent ce plan.
Ce qu'on sait
- Un plan de l'espace se caractérise par un point et un COUPLE de vecteurs NON colinéaires : deux vecteurs colinéaires ne dirigent qu'une droite.
- Deux droites de vecteur directeur : Un vecteur non nul qui donne la direction d'une droite. Une droite est entièrement caractérisée par un point et un vecteur directeur. colinéaires sont parallèles (confondues si elles partagent un point, strictement parallèles sinon).
- Une droite est parallèle à un plan si son vecteur directeur est une combinaison linéaire des deux vecteurs qui dirigent le plan — pas seulement colinéaire à l'un des deux.
- Trois vecteurs de l'espace forment une base si et seulement si aucun n'est combinaison linéaire des deux autres (ils ne sont pas coplanaires).
La méthode, étape par étape
1.Je compare les vecteurs directeurs (ou les directions) des deux objets à situer l'un par rapport à l'autre.
2.Pour deux droites : je regarde si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires (parallèles) ou non (sécantes si elles ont un point commun, non coplanaires sinon).
3.Pour une droite et un plan : je regarde si le vecteur directeur de la droite est combinaison linéaire des deux vecteurs du plan (parallèle) ou non (sécants).
4.Pour trois vecteurs donnés : je cherche si l'un s'écrit comme combinaison linéaire des deux autres ; si c'est impossible, ils forment une base de l'espace.
Vecteurs directeurs colinéaires : parallèles. Vecteur directeur combinaison linéaire des deux vecteurs du plan : parallèle au plan. Aucune combinaison linéaire possible : sécants, ou base.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Un plan P est dirigé par a(1 ; 0 ; 1) et b(0 ; 1 ; −1). Une droite d a pour vecteur directeur u(1 ; 1 ; 0).
2.Je cherche si u = a + b.
3.(1 ; 0 ; 1) + (0 ; 1 ; −1) = (1 ; 1 ; 0).
4.C'est exactement u : d est parallèle à P.