Algèbre et géométrie · Tle
Permutations, combinaisons et triangle de Pascal
La question qui change tout avant de compter : l'ORDRE compte-t-il, ou seulement le GROUPE final ? La réponse choisit entre trois outils : factorielle, arrangement, combinaison : Un choix de k éléments parmi n, SANS ordre entre eux (un groupe, une équipe). Noté (n k), lu « k parmi n »..
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- factorielle n (n!)
- Le nombre de permutations (rangements ordonnés) d'un ensemble à n éléments : n! = n × (n − 1) × … × 2 × 1.
- combinaison
- Un choix de k éléments parmi n, SANS ordre entre eux (un groupe, une équipe). Noté (n k), lu « k parmi n ».
- triangle de Pascal
- Le tableau qui range les coefficients binomiaux (n k) : chaque coefficient est la somme des deux qui sont juste au-dessus de lui, dans la ligne précédente.
Ce qu'on sait
- Un rangement de n éléments distincts (l'ordre compte, aucune répétition, tous les éléments sont utilisés) se compte par n!.
- Un k-uplet d'éléments DISTINCTS d'un ensemble à n éléments (l'ordre compte) se compte par n × (n − 1) × … × (n − k + 1).
- Une combinaison de k éléments parmi n (l'ordre NE compte PAS) se compte par (n k) = n!/(k!(n − k)!).
- Cas particuliers : (n 0) = 1, (n 1) = n. Symétrie : (n k) = (n, n − k). Relation de Pascal : (n k) = (n − 1, k − 1) + (n − 1, k).
La méthode, étape par étape
1.Je me demande si l'ORDRE du choix a une importance dans la situation (des postes différents, un classement) ou non (un simple groupe, une équipe).
2.Si l'ordre compte et que tous les éléments sont utilisés : je calcule n!. S'il compte mais que je n'en choisis que k parmi n : je calcule n × (n − 1) × … × (n − k + 1).
3.Si l'ordre ne compte pas, je calcule la combinaison (n k), à l'aide de la formule ou du triangle de Pascal : Le tableau qui range les coefficients binomiaux (n k) : chaque coefficient est la somme des deux qui sont juste au-dessus de lui, dans la ligne précédente..
4.Pour une valeur particulière, j'utilise les cas connus ((n 0) = 1, (n 1) = n), la symétrie, ou la relation de Pascal, plutôt que de tout recalculer.
Ordre + tous les éléments : n!. Ordre + k parmi n : n × (n − 1) × … × (n − k + 1). Pas d'ordre : (n k) = n!/(k!(n − k)!).
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Un tiercé (3 chevaux, dans l'ordre) est à choisir parmi 8 chevaux au départ.
2.L'ordre compte : c'est un 3-uplet d'éléments distincts parmi 8.
3.8 × 7 × 6 = 336.
4.Il y a 336 tiercés possibles — et non (⁸₃) = 56, qui ne compterait que les groupes de 3 chevaux sans tenir compte de leur ordre d'arrivée.