Analyse · 2e Bac SM

Limites de suites : références, encadrement, définition, suites adjacentes

Une suite se rapproche-t-elle d'un nombre, ou s'enfuit-elle vers l'infini ? Les limites répondent, et l'encadrement permet de le prouver proprement.

Le vocabulaire à connaître

suite convergente: Une suite qui admet une limite finie ℓ : pour tout ε strictement positif, |uₙ − ℓ| ≤ ε à partir d'un certain rang. Sinon elle est divergente.
suites adjacentes: Deux suites uₙ croissante et vₙ décroissante dont la différence vₙ − uₙ tend vers 0. Elles convergent vers la même limite.
théorème des gendarmes: Si uₙ ≤ vₙ ≤ wₙ et si uₙ et wₙ tendent vers la même limite ℓ, alors vₙ tend vers ℓ.

Ce qu'on sait

Suites de référence : nᵅ tend vers +∞ si α est strictement positif et vers 0 s'il est strictement négatif ; aⁿ tend vers 0 si |a| est strictement inférieur à 1 et vers +∞ si a est strictement supérieur à 1.
Comparaison : si uₙ ≥ vₙ et si vₙ tend vers +∞, alors uₙ tend vers +∞. Une suite croissante et majorée converge.
Pour encadrer un réel par des décimaux, la troncature à n décimales uₙ et vₙ = uₙ + 10⁻ⁿ sont adjacentes : uₙ ≤ x ≤ vₙ.

La méthode, étape par étape

1.Je repère le terme dominant (plus haute puissance, plus grande base) ou la forme indéterminée.

2.Je factorise le terme dominant, ou je multiplie par la quantité conjuguée quand il y a des racines.

3.Si la suite oscille, je l'encadre par deux suites de même limite et j'applique le .

4.Pour utiliser la définition, je résous |uₙ − ℓ| ≤ ε d'inconnue n et je lis le rang.

Un quotient de polynômes en n de même degré tend vers le quotient des coefficients dominants ; un encadrement par deux suites de même limite prouve la convergence.

C.Q.F.D.

L'exemple au propre

1.Je calcule la limite de uₙ = (3n² − 5n + 1)/(2n² + 4).

2.Je mets n² en facteur : uₙ = (3 − 5/n + 1/n²)/(2 + 4/n²).

3.Les termes 5/n, 1/n² et 4/n² tendent vers 0.

4.Donc uₙ tend vers 3/2, rapport des coefficients dominants 3 et 2.

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