Analyse · 2e Bac SM

Intégrales : parties, changement de variable, valeur moyenne, sommes de Riemann

Une intégrale additionne une infinité de petites tranches : elle donne une aire, une valeur moyenne, et la limite de certaines sommes.

Le vocabulaire à connaître

intégration par parties: Une technique qui transforme ∫ u v′ en une intégrale plus simple ∫ u′v.
changement de variable: Remplacer x par une expression de t pour simplifier l'intégrande, sans oublier de changer les bornes.
somme de Riemann: La somme ((b − a)/n) Σ f(a + k(b − a)/n) de n rectangles de même largeur ; elle tend vers l'intégrale de f sur [a ; b].

Parties : ∫ₐᵇ u v′ dx = [u v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u′ v dx, avec u et v dérivables à dérivées continues.
Si f ≤ g sur [a ; b], alors ∫ₐᵇ f ≤ ∫ₐᵇ g ; la valeur moyenne de f est (1/(b − a)) ∫ₐᵇ f.
Si f est croissante, les rectangles « à gauche » donnent un minorant de l'intégrale et ceux « à droite » un majorant.

1.Je choisis la technique : primitive directe, parties (produit d'un polynôme et de exp, sin, cos, ln) ou .

2.Pour les parties, je pose u (qui se simplifie en dérivant) et v′ (dont je connais une primitive).

3.Je calcule le crochet puis la nouvelle intégrale.

4.Pour une somme, je la reconnais comme de f et je calcule l'intégrale.

∫ₐᵇ u v′ = [u v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u′ v ; une somme de Riemann de f sur [0 ; 1] tend vers ∫₀¹ f.

C.Q.F.D.

1.Je calcule ∫₀¹ x eˣ dx par parties.

2.Je pose u = x et v′ = eˣ : u′ = 1 et v = eˣ.

3.Une primitive de x eˣ est x eˣ − eˣ, donc l'intégrale vaut (e − e) − (0 − 1).

4.Cela fait 0 + 1 = 1 : l'intégrale vaut 1.