Analyse · 2e Bac SM

Suites récurrentes : uₙ₊₁ = a·uₙ + b, homographiques, uₙ₊₁ = f(uₙ)

Un solde qui évolue chaque mois, une population qui se stabilise : une suite définie par récurrence se rapproche souvent d'un , que l'on sait calculer.

Le vocabulaire à connaître

point fixe: Un réel ℓ tel que f(ℓ) = ℓ. Si la suite uₙ₊₁ = f(uₙ) converge et si f est continue, sa limite est un point fixe de f.
suite arithmético-géométrique: Une suite de la forme uₙ₊₁ = a uₙ + b avec a ≠ 1.
intervalle stable: Un intervalle I tel que f(I) ⊂ I : si u₀ est dans I, tous les termes y restent.

Ce qu'on sait

Pour uₙ₊₁ = a uₙ + b, le point fixe est ℓ = b/(1 − a) ; vₙ = uₙ − ℓ est géométrique de raison a, donc uₙ = ℓ + (u₀ − ℓ)aⁿ.
Pour uₙ₊₁ = (a uₙ + b)/(c uₙ + d), on cherche les points fixes : avec un point fixe double ℓ, la suite 1/(uₙ − ℓ) est arithmétique ; avec deux points fixes α et β, (uₙ − α)/(uₙ − β) est géométrique.
Pour uₙ₊₁ = f(uₙ) avec f continue croissante sur un , la suite est monotone ; si elle est bornée, elle converge vers un point fixe. Et si uₙ tend vers ℓ, alors f(uₙ) tend vers f(ℓ).

La méthode, étape par étape

1.Je cherche les points fixes en résolvant f(x) = x.

2.Je définis la suite auxiliaire adaptée et je montre qu'elle est géométrique ou arithmétique.

3.Pour uₙ₊₁ = f(uₙ), je trouve un intervalle stable et je démontre par récurrence que tous les termes y restent.

4.J'étudie la monotonie, j'invoque le théorème de la suite monotone bornée, puis je conclus : la limite est un point fixe.

Une de raison |a| strictement inférieure à 1 converge vers son point fixe ; une suite uₙ₊₁ = f(uₙ) convergente tend vers un point fixe de f.

C.Q.F.D.

L'exemple au propre

1.Soit u₀ = 1 et uₙ₊₁ = (1/2)uₙ + 3.

2.Le point fixe vérifie ℓ = (1/2)ℓ + 3, donc ℓ = 6.

3.La suite vₙ = uₙ − 6 est géométrique de raison 1/2, avec v₀ = 1 − 6 = −5.

4.Donc uₙ = 6 − 5 × (1/2)ⁿ et uₙ tend vers 6.

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