Analyse · 2e Bac SM

Aires, volumes de révolution et fonctions définies par une intégrale

Aire d'une parcelle délimitée par deux courbes, volume d'une pièce tournée : le calcul intégral mesure les formes que les formules de géométrie ne savent pas traiter.

Le vocabulaire à connaître

unité d'aire: L'aire du rectangle de côtés ‖i‖ et ‖j‖ du repère : si ce sont 2 cm et 3 cm, une unité d'aire vaut 6 cm².
solide de révolution: Le solide engendré par la rotation d'une courbe autour d'un axe, par exemple l'axe des abscisses.
fonction définie par une intégrale: Une fonction comme F(x) = ∫ f(t) dt, l'intégrale étant prise de a à u(x), dont on étudie la dérivée et les variations.

Ce qu'on sait

Si f ≥ g sur [a ; b], l'aire entre les deux courbes est ∫ₐᵇ (f − g) dx .
Le volume du solide engendré par la courbe de f autour de l'axe des abscisses, pour x dans [a ; b], est V = π ∫ₐᵇ f(x)² dx.
Si f est continue et u dérivable : F(x) = ∫ f(t) dt, prise de a à u(x), a pour dérivée F′(x) = u′(x) f(u(x)).

La méthode, étape par étape

1.Je cherche les abscisses des points d'intersection, ou j'identifie les droites verticales qui bornent le domaine.

2.Je détermine quelle courbe est au-dessus (par le signe de f − g).

3.J'écris l'intégrale de (haut − bas), ou de π f² pour un volume, et je la calcule.

4.Je donne le résultat dans l'unité demandée, en convertissant l'unité d'aire en cm² si besoin.

Aire : ∫ (haut − bas). Volume de révolution : π ∫ f². Dérivée de l'intégrale de a à u(x) de f : u′ × f(u).

C.Q.F.D.

L'exemple au propre

1.Je calcule l'aire entre la droite y = 2x et la parabole y = x².

2.Elles se coupent quand x² = 2x, en x = 0 et x = 2 ; sur [0 ; 2], la droite est au-dessus.

3.L'aire est ∫₀² (2x − x²) dx = [x² − x³/3] de 0 à 2.

4.Cela vaut 4 − 8/3 = 4/3 unité d'aire.

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