Analyse · 2e Bac SM

Primitives et équations différentielles du premier et du second ordre

Un refroidissement, un ressort qui oscille : ces phénomènes relient une fonction à ses dérivées. Savoir remonter de la dérivée à la fonction permet de les résoudre.

Le vocabulaire à connaître

primitive: Une fonction F dont la dérivée est f : F′ = f. Deux primitives de f diffèrent d'une constante.
équation différentielle: Une équation dont l'inconnue est une fonction y et qui fait intervenir ses dérivées.
équation caractéristique: Pour y″ + a y′ + b y = 0, c'est l'équation r² + a r + b = 0.
condition initiale: Une valeur imposée comme y(0) = 1, qui fixe les constantes de la solution.

Ce qu'on sait

de formes composées : u′uⁿ → uⁿ⁺¹/(n + 1) ; u′/√u → 2√u ; u′/u → ln|u| ; u′eᵘ → eᵘ.
Les solutions de y′ = a y + b (a non nul) sont y = C eᵃˣ − b/a, avec C réel.
Pour y″ + a y′ + b y = 0 : deux racines réelles r₁ ≠ r₂ donnent A exp(r₁x) + B exp(r₂x) ; une racine double r donne (Ax + B) exp(rx) ; des racines p ± iq donnent exp(px)(A cos(qx) + B sin(qx)).

La méthode, étape par étape

1.Je mets l'équation sous forme standard et je repère son ordre.

2.Ordre 1 : je cherche la solution constante, puis j'ajoute C eᵃˣ. Ordre 2 : je résous l'.

3.Si l'équation ne ressemble pas à ces formes, je cherche un changement de fonction, par exemple z = y′.

4.J'utilise les pour calculer les constantes, puis je vérifie dans l'équation.

y′ = a y + b a pour solutions C eᵃˣ − b/a ; y″ + a y′ + b y = 0 se résout avec l'équation caractéristique r² + a r + b = 0.

C.Q.F.D.

L'exemple au propre

1.Je résous y′ = 4y − 8 avec y(0) = 5.

2.La solution constante vérifie 4y − 8 = 0, soit y = 2.

3.Donc y = C e⁴ˣ + 2 et y(0) = C + 2 = 5 donne C = 3.

4.La solution est y = 3e⁴ˣ + 2 : contrôle y′ = 12e⁴ˣ et 4y − 8 = 12e⁴ˣ.

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