Analyse · 2e Bac SM

Rolle, accroissements finis et suites uₙ₊₁ = f(uₙ)

Entre deux points d'une courbe, il existe toujours un endroit où la tangente est parallèle à la corde : cette idée sert à encadrer des nombres et à prouver qu'une suite converge.

Le vocabulaire à connaître

théorème de Rolle: Si f est continue sur [a ; b], dérivable sur ]a ; b[ et si f(a) = f(b), il existe c dans ]a ; b[ tel que f′(c) = 0.
théorème des accroissements finis: Sous les mêmes hypothèses de continuité et de dérivabilité, il existe c dans ]a ; b[ tel que f(b) − f(a) = f′(c)(b − a).
inégalité des accroissements finis: Si |f′(x)| ≤ k sur un intervalle, alors |f(x) − f(y)| ≤ k|x − y| pour x et y dans cet intervalle.

Ce qu'on sait

Interprétation géométrique : Rolle donne une tangente horizontale, le TAF une tangente parallèle à la corde entre les points d'abscisses a et b.
Pour encadrer √(s² + d), j'applique l'inégalité à f(t) = √t sur [s² ; s² + d] avec 0 ≤ f′(t) ≤ 1/(2s).
Pour une suite uₙ₊₁ = f(uₙ) de point fixe ℓ, si |f′| ≤ k avec k strictement inférieur à 1, alors |uₙ − ℓ| ≤ kⁿ|u₀ − ℓ| et la suite converge vers ℓ.

La méthode, étape par étape

1.Je vérifie les hypothèses : continuité sur le segment, dérivabilité à l'intérieur.

2.Je choisis la fonction et le segment adaptés à ce que je veux démontrer.

3.J'applique le théorème, puis je borne |f′| sur l'intervalle pour obtenir une constante k.

4.Je conclus l'inégalité ; pour une suite, j'itère |uₙ₊₁ − ℓ| ≤ k|uₙ − ℓ| par récurrence.

Si |f′| ≤ k alors |f(x) − f(y)| ≤ k|x − y| ; avec k strictement inférieur à 1, la suite uₙ₊₁ = f(uₙ) converge vers le point fixe.

C.Q.F.D.

L'exemple au propre

1.J'encadre √19 par l' sur [16 ; 19] avec f(t) = √t.

2.f′(t) = 1/(2√t) est positive et, pour t ≥ 16, inférieure ou égale à 1/(2 × 4) = 1/8.

3.Donc 0 ≤ √19 − √16 ≤ (1/8) × (19 − 16) = 3/8.

4.Avec √16 = 4, il vient 4 ≤ √19 ≤ 4 + 3/8 = 4,375.

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