Fonctions · 2e Bac SM

Exponentielle : primitives, extremums et fonctions mêlant exp et ln

Associer exponentielle et logarithme, c'est étudier des courbes qui montent, redescendent et se stabilisent : un médicament dans le sang, un amortissement.

Le vocabulaire à connaître

primitive de u′eᵘ: Une fonction F avec F′ = u′ eᵘ : on prend F = eᵘ, car (eᵘ)′ = u′ eᵘ.
croissances comparées: L'exponentielle l'emporte sur toute puissance : xⁿ/eˣ tend vers 0 en +∞ et xⁿ eˣ tend vers 0 en −∞.
point d'inflexion: Point de la courbe où f″ s'annule en changeant de signe : la concavité change.

Ce qu'on sait

(eᵘ)′ = u′ eᵘ ; (ln u)′ = u′/u ; une primitive de u′ eᵘ est eᵘ.
Pour une fonction contenant exp et ln, le domaine impose des conditions strictes (ln demande un argument strictement positif) ; on cherche ensuite les limites par .
Une asymptote oblique se cherche par f(x) − (mx + p) : par exemple ln(1 + eˣ) − x = ln(1 + e⁻ˣ) tend vers 0 en +∞.

La méthode, étape par étape

1.Je détermine l'ensemble de définition de f.

2.Je calcule les limites en utilisant les croissances comparées ou les factorisations.

3.Je dérive en reconnaissant (eᵘ)′ = u′eᵘ et j'étudie le signe de f′.

4.Je dresse le tableau de variations, je cherche asymptotes, extremums, inflexion et nombre de solutions de f(x) = λ.

Une primitive de u′ eᵘ est eᵘ ; l'exponentielle l'emporte sur les puissances, qui l'emportent sur ln.

C.Q.F.D.

L'exemple au propre

1.Soit f(x) = x e⁻ˣ sur IR.

2.f′(x) = e⁻ˣ − x e⁻ˣ = (1 − x) e⁻ˣ, du signe de 1 − x.

3.f croît jusqu'à x = 1 puis décroît.

4.Le maximum est f(1) = 1 × e⁻¹ = 1/e, environ 0,37.

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