Fonctions · 2e Bac SM

Logarithmes : propriétés, équations, inéquations, systèmes, logarithme décimal

Le logarithme transforme les produits en sommes : c'est l'outil qui mesure la durée d'un doublement de capital ou le nombre de chiffres d'un grand nombre.

Le vocabulaire à connaître

logarithme népérien: La fonction ln définie sur ]0 ; +∞[, strictement croissante, avec ln(1) = 0 et ln(e) = 1.
condition d'existence: Pour que ln(u) existe, il faut que u soit strictement positif. On l'écrit avant de résoudre.
logarithme décimal: log(x) = ln(x)/ln(10) : il vérifie log(10) = 1 et log(10ⁿ) = n.

Ce qu'on sait

ln(ab) = ln(a) + ln(b) ; ln(a/b) = ln(a) − ln(b) ; ln(aⁿ) = n ln(a) ; ln(√a) = (1/2) ln(a) (a et b strictement positifs).
ln(a) = ln(b) équivaut à a = b et ln(a) ≤ ln(b) équivaut à a ≤ b, car ln est strictement croissante.
10ˣ = a équivaut à x = log(a) ; le logarithme de base a est logₐ(x) = ln(x)/ln(a).

La méthode, étape par étape

1.J'écris les de tous les logarithmes.

2.Je regroupe les logarithmes pour obtenir ln(u) = ln(v), ou je pose X = ln(x) si l'équation est du second degré en ln(x).

3.Je supprime ln des deux côtés et je résous l'équation obtenue.

4.Je garde seulement les solutions qui respectent les conditions d'existence.

ln est injective et croissante : on résout dans l'ensemble d'existence, puis on élimine les solutions parasites.

C.Q.F.D.

L'exemple au propre

1.Je résous ln(x + 1) + ln(x − 2) = ln(10).

2.Existence : x + 1 et x − 2 strictement positifs, donc x strictement supérieur à 2.

3.Je regroupe : (x + 1)(x − 2) = 10, soit x² − x − 12 = 0, de racines 4 et −3.

4.Seule x = 4 est dans le domaine : contrôle (4 + 1)(4 − 2) = 5 × 2 = 10.

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