Fonctions · 2e Bac SM

Logarithme : limites fondamentales, dérivée logarithmique, étude de fonctions

Le logarithme croît plus lentement que n'importe quelle puissance : cette seule idée suffit à lever la plupart des formes indéterminées d'une étude de fonction.

Le vocabulaire à connaître

dérivée logarithmique: Pour u dérivable et non nulle, (ln|u|)′ = u′/u. Une primitive de u′/u est donc ln|u|.
croissances comparées: Comparer la vitesse de deux fonctions en l'infini : ici, x l'emporte sur ln(x), donc ln(x)/x tend vers 0.
branche parabolique: Branche infinie où la courbe s'éloigne de toute droite : la direction se lit avec la limite de f(x)/x.

Ce qu'on sait

Limites fondamentales : ln(x) tend vers +∞ en +∞ et vers −∞ en 0⁺ ; ln(x)/x tend vers 0 en +∞ ; x ln(x) tend vers 0 en 0⁺ ; ln(1 + x)/x tend vers 1 en 0.
(ln u)′ = u′/u : pour f(x) = ln(x² + 1), f′(x) = 2x/(x² + 1).
Si f(x)/x tend vers 0 alors la courbe a une de direction l'axe des abscisses ; si elle tend vers +∞, de direction l'axe des ordonnées.

La méthode, étape par étape

1.Je détermine l'ensemble de définition en écrivant que l'argument de ln est strictement positif.

2.Je calcule les limites en me ramenant aux limites fondamentales (factorisation du terme dominant, changement de variable).

3.Je dérive avec (ln u)′ = u′/u, j'étudie le signe de f′ et je dresse le tableau de variations.

4.Je cherche asymptotes et branches infinies, puis je trace la courbe.

(ln u)′ = u′/u ; et le logarithme est négligeable devant toute puissance de x en l'infini.

C.Q.F.D.

L'exemple au propre

1.Soit f(x) = x − 3 ln(x) sur ]0 ; +∞[.

2.f′(x) = 1 − 3/x = (x − 3)/x.

3.f′ est négative sur ]0 ; 3] et positive sur [3 ; +∞[ : f décroît puis croît.

4.Le minimum est f(3) = 3 − 3 ln(3), environ −0,3.

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