Fonctions · 2e Bac SM

Dérivées composées, variations, branches infinies et étude de fonctions

Étudier une fonction, c'est la raconter : où elle est définie, ce qu'elle devient aux bornes, quand elle monte et quand elle descend, et à quoi ressemble sa courbe.

Le vocabulaire à connaître

asymptote oblique: La droite y = mx + p si f(x) − (mx + p) tend vers 0 quand x tend vers l'infini.
branche parabolique: Si f(x)/x tend vers m mais f(x) − mx tend vers l'infini : la courbe suit la direction de la droite y = mx sans s'en approcher. Si f(x)/x tend vers l'infini : direction de l'axe des ordonnées.
point d'inflexion: Un point où la courbe traverse sa tangente : f″ s'annule en changeant de signe.

Ce qu'on sait

Dérivées de composées : (√u)′ = u′/(2√u) ; (cos u)′ = −u′ sin u ; (sin u)′ = u′ cos u ; (u/v)′ = (u′v − uv′)/v².
Le signe de f′ donne la monotonie ; en un extremum local, f′ s'annule en changeant de signe. Si f″ est positive, la courbe est convexe.
Pour réduire l'étude : une fonction paire ou impaire s'étudie sur [0 ; +∞[ ; une fonction de période T s'étudie sur un intervalle de longueur T.

La méthode, étape par étape

1.Je détermine l'ensemble de définition, la parité ou la période pour réduire l'étude.

2.Je calcule les limites aux bornes et j'en déduis les asymptotes et branches infinies.

3.Je dérive, j'étudie le signe de f′ et je dresse le tableau de variations.

4.Je calcule f″ si l'on demande la concavité, puis je trace la courbe avec ses tangentes remarquables.

Une étude complète : domaine, limites et branches infinies, dérivée, tableau de variations, concavité, tracé.

C.Q.F.D.

L'exemple au propre

1.Soit f(x) = √(x² + 6x). Je cherche la direction de la courbe en +∞ : je calcule f(x) − x.

2.Avec la quantité conjuguée : f(x) − x = 6x/(√(x² + 6x) + x).

3.Je divise par x : 6/(√(1 + 6/x) + 1) tend vers 6/2 = 3.

4.Donc la droite y = x + 3 est à la courbe en +∞.

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