Fonctions · 2e Bac SM

Fonctions réciproques : racines n-ièmes, Arctan, dérivée de f⁻¹

Défaire ce que fait une fonction : la racine est la réciproque du carré, celle de la tangente. Et sa dérivée se calcule sans connaître son expression.

Le vocabulaire à connaître

fonction réciproque: Si f est une bijection de I sur J, c'est la fonction f⁻¹ de J vers I qui à y associe l'unique x tel que f(x) = y.
racine n-ième: La réciproque de x ↦ xⁿ sur [0 ; +∞[ ; la racine cubique est notée ³√x.
Arctan: La réciproque de la tangente sur l'intervalle ]−π/2 ; π/2[ : Arctan(x) = θ signifie tan(θ) = x avec θ dans cet intervalle.

Ce qu'on sait

Si f est continue et strictement monotone sur I, f⁻¹ est continue, a le même sens de variation que f, et sa courbe est la symétrique de celle de f par rapport à la droite y = x.
Si f est dérivable en a avec f′(a) ≠ 0, alors f⁻¹ est dérivable en b = f(a) et (f⁻¹)′(b) = 1/f′(a). En particulier Arctan′(x) = 1/(1 + x²).
Valeurs usuelles : Arctan(0) = 0, Arctan(1) = π/4, Arctan(√3) = π/3, Arctan(1/√3) = π/6, et Arctan est impaire.

La méthode, étape par étape

1.Je justifie que f est continue et strictement monotone sur l'intervalle I.

2.Je détermine f(I) grâce aux valeurs ou limites aux extrémités.

3.Pour l'expression de f⁻¹, je résous y = f(x) d'inconnue x.

4.Pour la dérivée en b, je trouve a tel que f(a) = b puis je calcule 1/f′(a).

(f⁻¹)′(f(a)) = 1/f′(a), à condition que f′(a) soit non nul.

C.Q.F.D.

L'exemple au propre

1.Soit f(x) = x³ + 2x, bijection de IR sur IR. Je calcule (f⁻¹)′(3).

2.Je cherche a tel que f(a) = 3 : f(1) = 1 + 2 = 3, donc f⁻¹(3) = 1.

3.f′(x) = 3x² + 2, donc f′(1) = 3 + 2 = 5.

4.Alors (f⁻¹)′(3) = 1/f′(1) = 1/5.

Dans la même classe

S'entraîner en 2e Bac SM Toutes les fiches