Aller au contenu
Mon Coach de Maths Comprendre, prouver, réussir

Fonctions · 2e Bac SM

Continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dichotomie et bijection

Une fonction continue se trace sans lever le crayon : c'est ce qui garantit qu'elle passe par toutes les valeurs intermédiaires, donc qu'une équation a bien une solution.

Le vocabulaire à connaître

continuité en a
f est continue en a si lim f(x) = f(a) quand x tend vers a. Il faut que la limite existe, qu'elle soit finie et qu'elle égale la valeur.
prolongement par continuité
Si f n'est pas définie en a mais admet une limite finie ℓ en a, on pose f(a) = ℓ : la nouvelle fonction est continue en a.
dichotomie
Méthode qui coupe l'intervalle en deux à chaque étape et garde la moitié où f change de signe, pour encadrer une solution.

Ce qu'on sait

  • Les polynômes, les fonctions rationnelles, sin, cos et √ sont continues sur leur ensemble de définition, de même que leurs sommes, produits, quotients et composées.
  • Théorème des valeurs intermédiaires : f continue sur [a ; b] et λ compris entre f(a) et f(b) ⇒ l'équation f(x) = λ a une solution dans [a ; b]. L'image d'un segment par une fonction continue est un segment.
  • Si f est continue et strictement monotone sur I, alors f est une bijection de I sur f(I) et l'équation f(x) = λ a au plus une solution : les bornes de f(I) sont les valeurs ou les limites aux extrémités de I.

La méthode, étape par étape

1.Pour la continuité en a : f est continue en a si lim f(x) = f(a) quand x tend vers a. Il faut que la limite existe, qu'elle soit finie et qu'elle égale la valeur., je calcule les limites à gauche et à droite et je les compare à f(a).
2.Pour un TVI, je vérifie la continuité, puis je calcule f aux extrémités et je montre que λ est entre les deux valeurs.
3.Pour l'unicité, j'étudie le signe de f′ et j'en déduis la stricte monotonie.
4.Pour la dichotomie : Méthode qui coupe l'intervalle en deux à chaque étape et garde la moitié où f change de signe, pour encadrer une solution., je calcule f au milieu, j'étudie le changement de signe et je garde la moitié concernée.
Continue avec un changement de signe : au moins une solution ; continue et strictement monotone : exactement une.
C.Q.F.D.

L'exemple au propre

1.Je montre que x³ + x = 3 a une unique solution dans [1 ; 2].
2.Soit f(x) = x³ + x − 3 : f est continue et f′(x) = 3x² + 1 est strictement positif, donc f est strictement croissante.
3.f(1) = 1 + 1 − 3 = −1 et f(2) = 8 + 2 − 3 = 7 : 0 est compris entre −1 et 7.
4.Le TVI et la stricte monotonie donnent une seule solution. Une étape de dichotomie : f(1,5) = 3,375 + 1,5 − 3 = 1,875 est positif, donc la solution est dans [1 ; 1,5].

Dans la même classe

S'entraîner en 2e Bac SM Toutes les fiches