Fonctions · 2e Bac SM

Exponentielle : propriétés, équations, inéquations, systèmes, limites fondamentales

L'exponentielle décrit ce qui croît très vite : un virus, un placement, un enchaînement de doublements. Ses règles de calcul tiennent en quelques lignes.

Le vocabulaire à connaître

exponentielle népérienne: La fonction x ↦ eˣ, réciproque de ln : eˣ = y équivaut à x = ln(y) pour y strictement positif.
nombre e: Le réel tel que ln(e) = 1, environ 2,718.
équation du second degré en eˣ: Une équation du type e²ˣ + b eˣ + c = 0 : on pose X = eˣ pour retrouver X² + bX + c = 0.

Ce qu'on sait

eˣ est strictement positive ; eˣ⁺ʸ = eˣ × eʸ ; e⁻ˣ = 1/eˣ ; (eˣ)ⁿ = eⁿˣ ; ln(eˣ) = x.
eᵃ = eᵇ équivaut à a = b ; eᵃ ≤ eᵇ équivaut à a ≤ b ; eˣ = a équivaut à x = ln(a) quand a est strictement positif.
Limites : eˣ tend vers +∞ en +∞ et vers 0 en −∞ ; eˣ/x tend vers +∞ en +∞ ; x eˣ tend vers 0 en −∞ ; (eˣ − 1)/x tend vers 1 en 0.

La méthode, étape par étape

1.Je ramène les puissances à une même base avec eˣ⁺ʸ = eˣeʸ.

2.Je pose X = eˣ avec X strictement positif et je résous en X.

3.Pour chaque X retenu, je reviens à x avec x = ln(X).

4.Pour une limite, je cherche une limite fondamentale : taux d'accroissement de exp en 0 ou croissances comparées.

eˣ est toujours strictement positive : on garde seulement les valeurs de X strictement positives, et eˣ = X donne x = ln(X).

C.Q.F.D.

L'exemple au propre

1.Je résous e²ˣ − 5eˣ + 6 = 0.

2.Je pose X = eˣ : X² − 5X + 6 = 0, soit (X − 2)(X − 3) = 0.

3.eˣ = 2 donne x = ln(2) et eˣ = 3 donne x = ln(3).

4.Contrôle de la somme et du produit : 2 + 3 = 5 et 2 × 3 = 6, comme dans l'équation en X.

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