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Algèbre et géométrie · 2e Bac SM

Nombres complexes : forme trigonométrique, Moivre, géométrie et racines de l'unité

Un nombre complexe est aussi un point du plan : son module est une distance, son argument : Une mesure θ de l'angle entre l'axe des abscisses et le vecteur d'affixe z non nul : z = r(cos θ + i sin θ) avec r = |z|. un angle. Les rotations, les alignements et les polygones réguliers se calculent alors par des produits.

Le vocabulaire à connaître

argument
Une mesure θ de l'angle entre l'axe des abscisses et le vecteur d'affixe z non nul : z = r(cos θ + i sin θ) avec r = |z|.
notation exponentielle
exp(iθ) = cos θ + i sin θ ; ainsi z = r exp(iθ).
racines n-ièmes de l'unité
Les n solutions de zⁿ = 1 : les nombres exp(2ikπ/n) pour k = 0, 1, …, n − 1.

Ce qu'on sait

  • Produit : les modules se multiplient, les arguments s'ajoutent. Moivre : (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ). Euler : cos θ = (exp(iθ) + exp(−iθ))/2.
  • Géométrie : AB = |b − a| ; si (c − a)/(b − a) est réel, A, B, C sont alignés ; s'il est imaginaire pur, (AB) et (AC) sont perpendiculaires ; son module est AC/AB.
  • Transformations : translation z′ = z + b ; homothétie de centre ω et de rapport k : z′ − ω = k(z − ω) ; rotation de centre ω et d'angle θ : z′ − ω = exp(iθ)(z − ω).

La méthode, étape par étape

1.Je calcule le module, puis cos θ et sin θ en divisant les parties réelle et imaginaire par le module.
2.Pour une puissance, je passe en forme exponentielle, j'élève le module et je multiplie l'argument.
3.Pour la géométrie, j'écris les affixes des vecteurs et j'étudie le quotient de deux d'entre eux.
4.Pour une transformation, j'écris son expression complexe et je l'applique à l'affixe du point.
Module et argument d'un produit : on multiplie les modules, on additionne les arguments ; une rotation s'écrit z′ − ω = exp(iθ)(z − ω).
C.Q.F.D.

L'exemple au propre

1.Je cherche l'image de M d'affixe 2 + 3i par la rotation de centre Ω d'affixe 1 + i et d'angle π/2.
2.z − ω = (2 + 3i) − (1 + i) = 1 + 2i.
3.Comme exp(iπ/2) = i, je multiplie : i(1 + 2i) = i + 2i² = −2 + i.
4.Donc z′ = (−2 + i) + (1 + i) = −1 + 2i.

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