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Algèbre et géométrie · 2e Bac SM

Nombres complexes : calcul algébrique et équations du second degré

Les nombre complexe : Un nombre z = a + bi avec a et b réels et i² = −1. Le réel a est sa partie réelle, b sa partie imaginaire. donnent une solution à toutes les équations du second degré, même quand le discriminant est négatif : les racines viennent alors par paires conjuguées.

Le vocabulaire à connaître

nombre complexe
Un nombre z = a + bi avec a et b réels et i² = −1. Le réel a est sa partie réelle, b sa partie imaginaire.
conjugué et module
Le conjugué de a + bi est a − bi ; son module est |z| = √(a² + b²) et z × conjugué de z = |z|².
racine carrée complexe
Un nombre δ tel que δ² = Δ. Pour Δ réel négatif, δ = ±i√(−Δ).

Ce qu'on sait

  • Pour un quotient, je multiplie en haut et en bas par le conjugué du dénominateur : z/w = z × conjugué de w/|w|². Le module d'un produit est le produit des modules.
  • Si Δ = b² − 4ac est strictement négatif, a z² + b z + c = 0 a deux solutions conjuguées (−b ± i√(−Δ))/(2a). Pour Δ complexe, on cherche δ avec δ² = Δ.
  • Les solutions vérifient z₁ + z₂ = −b/a et z₁z₂ = c/a ; une équation bicarrée z⁴ + b z² + c = 0 se résout en posant Z = z².

La méthode, étape par étape

1.Je mets le nombre ou l'équation sous une forme calculable (conjugué, discriminant).
2.Pour une racine carrée de x + yi, j'écris a² − b² = x, 2ab = y et a² + b² = |x + yi|.
3.Je résous le système en a et b, puis j'en déduis les solutions.
4.Je contrôle avec la somme et le produit des racines.
Pour Δ négatif, les solutions de a z² + b z + c = 0 sont (−b ± i√(−Δ))/(2a), conjuguées l'une de l'autre.
C.Q.F.D.

L'exemple au propre

1.Je résous dans les complexes z² − 6z + 13 = 0.
2.Le discriminant est Δ = 6² − 4 × 13 = 36 − 52 = −16.
3.Les racines carrées de −16 sont ±4i, donc z = (6 ± 4i)/2 = 3 ± 2i.
4.Contrôle : 3 + 3 = 6 et (3 + 2i)(3 − 2i) = 9 + 4 = 13.

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