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Algèbre et géométrie · 2e Bac SM

Structures algébriques : lois, groupes, anneaux, corps, espaces vectoriels

Additionner des nombres, composer des transformations, multiplier des matrices : derrière ces calculs se cachent les mêmes règles, que les structures algébriques rassemblent.

Le vocabulaire à connaître

loi de composition interne
Une opération ∗ qui à deux éléments d'un ensemble E associe un élément de E.
groupe
Un ensemble avec une loi interne associative, un élément neutre, et tout élément admet un symétrique. S'il est commutatif, on dit abélien.
morphisme
Une application f telle que f(x ∗ y) = f(x) ⋆ f(y) ; bijectif, on l'appelle isomorphisme.
espace vectoriel réel
Un groupe commutatif muni d'une multiplication par les réels, compatible avec l'addition.

Ce qu'on sait

  • Sous-groupe : une partie non vide H telle que a − b ∈ H pour tous a et b de H (ou a ∗ b′ ∈ H avec b′ le symétrique de b).
  • Un anneau est un groupe : Un ensemble avec une loi interne associative, un élément neutre, et tout élément admet un symétrique. S'il est commutatif, on dit abélien. commutatif pour + avec une multiplication associative distributive ; il est intègre s'il n'a pas de diviseurs de zéro. Un corps est un anneau commutatif où tout élément non nul est inversible : Z/pZ est un corps si p est premier.
  • Sous-espace vectoriel : non vide, stable par somme et par multiplication par un réel. Une famille est libre si aucune combinaison linéaire non triviale n'est nulle ; une base est libre et génératrice, sa taille est la dimension.

La méthode, étape par étape

1.Je vérifie d'abord que la loi est interne (le résultat reste dans l'ensemble).
2.Je teste associativité, commutativité, puis je cherche le neutre e avec x ∗ e = x et le symétrique de x.
3.Pour un sous-groupe ou un sous-espace, j'utilise la propriété caractéristique (stabilité, élément neutre présent).
4.Pour comparer deux structures, je cherche un morphisme : Une application f telle que f(x ∗ y) = f(x) ⋆ f(y) ; bijectif, on l'appelle isomorphisme., puis je vérifie s'il est bijectif.
Un groupe a une loi associative, un neutre et des symétriques ; un morphisme conserve la loi ; un corps est un anneau commutatif où tout non nul est inversible.
C.Q.F.D.

L'exemple au propre

1.Sur IR, on pose x ∗ y = x + y − 3.
2.Le neutre vérifie x ∗ e = x : x + e − 3 = x, donc e = 3.
3.Le symétrique x′ de x vérifie x + x′ − 3 = 3, donc x′ = 6 − x.
4.Par exemple le symétrique de 5 est 1 : 5 + 1 − 3 = 3, qui est le neutre.

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