Analyse · Tle
Limites de suites
Une suite finit-elle par exploser, par se stabiliser, ou par ne rien faire de tout cela ? Les théorèmes du chapitre répondent sans jamais calculer tous les termes.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- suite convergente
- Une suite qui tend vers un nombre réel 𝓁 : tout intervalle ouvert contenant 𝓁 contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
- théorème des gendarmes
- Si une suite est encadrée par deux autres qui tendent vers la MÊME limite, alors elle tend aussi vers cette limite.
- théorème de comparaison
- Si uₙ ≥ vₙ et que (vₙ) tend vers +∞, alors (uₙ) tend aussi vers +∞ (et de même, en minorant, vers −∞).
Ce qu'on sait
- Suite géométrique (qⁿ) : si q est strictement compris entre −1 et 1, elle tend vers 0 ; si q est strictement supérieur à 1, elle tend vers +∞ ; si q = 1, elle est constante.
- théorème de comparaison : Si uₙ ≥ vₙ et que (vₙ) tend vers +∞, alors (uₙ) tend aussi vers +∞ (et de même, en minorant, vers −∞). : une suite minorée par une suite qui tend vers +∞ tend elle-même vers +∞.
- théorème des gendarmes : Si une suite est encadrée par deux autres qui tendent vers la MÊME limite, alors elle tend aussi vers cette limite. : un encadrement des DEUX côtés par deux suites de même limite impose cette limite à la suite encadrée.
- Une suite croissante et majorée converge (théorème admis), mais pas nécessairement vers son majorant.
- Modéliser un phénomène d'évolution (capital avec intérêts et versement fixe, population…) donne souvent une relation de récurrence uₙ₊₁ = a × uₙ + b.
La méthode, étape par étape
1.Je reconnais d'abord la forme de la suite : limite usuelle connue, suite géométrique, encadrement possible, ou comparaison à une suite de référence.
2.Pour une suite géométrique, je compare |q| à 1 pour choisir le bon résultat de limite.
3.Pour une comparaison, je vérifie que l'inégalité utilisée est valable à partir d'un certain rang, et je m'assure que la suite de comparaison a bien la limite voulue.
4.Pour les gendarmes, je vérifie que j'ai bien un encadrement des DEUX côtés, jamais une seule majoration ou une seule minoration.
Suivant le cas : limites usuelles, limite de (qⁿ) selon la position de q par rapport à 1 et à −1, théorème de comparaison, théorème des gendarmes, ou suite croissante majorée (convergente).
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Pour tout n ≥ 1, −1/n² ≤ cos(n)/n² ≤ 1/n².
2.Comme −1/n² et 1/n² tendent toutes deux vers 0, le théorème des gendarmes donne lim cos(n)/n² = 0.