Analyse · Tle
Compléments sur la dérivation
Une fonction composée : La fonction v ∘ u, définie par (v ∘ u)(x) = v(u(x)) : on applique d'abord u, puis v au résultat. se dérive en deux temps : la dérivée de l'extérieur, évaluée à l'intérieur, multipliée par la dérivée de l'intérieur.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- fonction composée
- La fonction v ∘ u, définie par (v ∘ u)(x) = v(u(x)) : on applique d'abord u, puis v au résultat.
- dérivée seconde
- La dérivée de la fonction dérivée f′, notée f″ : elle mesure comment la pente de la courbe de f elle-même évolue.
Ce qu'on sait
- Pour une composée v ∘ u, dérivable, la relation du programme est (v ∘ u)′ = (v′ ∘ u) × u′.
- La dérivée seconde : La dérivée de la fonction dérivée f′, notée f″ : elle mesure comment la pente de la courbe de f elle-même évolue. f″ est la dérivée de la fonction dérivée f′ — jamais le carré de f′, ni f composée avec elle-même.
- Pour x ↦ f(ax + b), la dérivée est x ↦ a × f′(ax + b) : cas particulier de la composée, avec u(x) = ax + b et u′(x) = a.
La méthode, étape par étape
1.Je repère la composée v ∘ u dans f : quelle fonction est appliquée en dernier (v), quelle expression lui est passée (u(x)) ?
2.Je calcule v′ et u′ séparément.
3.J'applique la formule (v ∘ u)′(x) = v′(u(x)) × u′(x) — je n'évalue JAMAIS v′ en x directement, toujours en u(x).
4.Pour une dérivée seconde, je dérive une deuxième fois le résultat obtenu pour f′.
5.Je calcule la valeur numérique demandée en remplaçant x par sa valeur, en dernier.
(v ∘ u)′ = (v′ ∘ u) × u′ ; f″ est la dérivée de f′ ; (x ↦ f(ax + b))′ : x ↦ a × f′(ax + b).
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Pour f(x) = (2x + 1)³, avec v(t) = t³ et u(x) = 2x + 1 : v′(t) = 3t², u′(x) = 2.
2.f′(x) = 3(2x + 1)² × 2 = 6(2x + 1)².
3.f′(1) = 6 × 3² = 54.