Analyse · Tle
Démonstration : toute suite croissante non majorée tend vers +∞
Ne jamais s'arrêter de grandir, et n'avoir aucun plafond : cela suffit à garantir que la suite dépasse un jour n'importe quel seuil, aussi grand soit-il.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- suite non majorée
- Une suite telle qu'aucun réel n'est un majorant : pour tout réel A, il existe un terme de la suite strictement supérieur à A.
Ce qu'on sait
- Une suite (uₙ) tend vers +∞ si tout intervalle [A ; +∞[ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
- Une suite (uₙ) est non majorée si, pour tout réel A, il existe un rang p tel que uₚ soit strictement supérieur à A.
- Une suite croissante vérifie uₙ₊₁ ≥ uₙ pour tout n, donc uₘ ≥ uₚ dès que m ≥ p.
La méthode, étape par étape
1.Je fixe un réel A quelconque : je dois montrer qu'à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite dépassent A.
2.Comme la suite n'est pas majorée, A n'est pas un majorant : il existe un rang p tel que uₚ > A.
3.Comme la suite est croissante, pour tout entier n ≥ p, j'ai uₙ ≥ uₚ > A.
4.J'ai donc trouvé un rang (p) à partir duquel tous les termes de la suite dépassent A.
5.Comme A était un réel quelconque, ce raisonnement reste valable pour tout A : c'est exactement la définition de « tend vers +∞ ».
Toute suite croissante et non majorée tend vers +∞.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.La suite uₙ = n² est croissante et non majorée (pour tout A, il suffit de prendre n supérieur à √A pour dépasser A).
2.Elle tend donc bien vers +∞, conformément au théorème.