Analyse · Tle
Convexité
Une courbe qui « creuse vers le haut » reste toujours au-dessus de ses tangentes et en dessous de ses sécantes : c'est ça, la convexité.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- fonction convexe
- Une fonction dont la courbe, entre deux points quelconques, reste toujours en dessous du segment qui les joint (la sécante).
- point d'inflexion
- Un point où la courbe change de convexité : f″ s'y annule EN CHANGEANT DE SIGNE.
Ce qu'on sait
- f est convexe sur un intervalle si, pour tous points A et B de sa courbe, le segment [AB] reste au-dessus de la courbe.
- Pour une fonction deux fois dérivable, cette définition est équivalente à : la courbe est au-dessus de ses tangentes, ou f′ est croissante, ou f″ est positive.
- En un point d'inflexion : Un point où la courbe change de convexité : f″ s'y annule EN CHANGEANT DE SIGNE., f″ s'annule en changeant de signe : la courbe passe de concave à convexe, ou l'inverse.
La méthode, étape par étape
1.Je calcule f″, la dérivée seconde de f.
2.J'étudie le signe de f″ (souvent à l'aide d'un tableau de signes).
3.Là où f″ est positive, f est convexe ; là où f″ est négative, f est concave.
4.Un point où f″ change de signe est un point d'inflexion.
5.Pour démontrer une inégalité, je compare la courbe de f à l'une de ses tangentes (au-dessus si f convexe) ou à une sécante (en dessous si f convexe).
f″ ≥ 0 sur un intervalle ⟺ f convexe sur cet intervalle ⟺ f′ croissante ⟺ courbe au-dessus de ses tangentes.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.La fonction exponentielle est convexe sur ℝ, et sa tangente en 0 a pour équation y = 1 + x.
2.Comme la courbe reste au-dessus de cette tangente, on en déduit eˣ ≥ 1 + x pour tout réel x.