Analyse · Tle
Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
Une courbe continue qui passe du négatif au positif traverse forcément l'axe des abscisses : c'est toute la puissance du théorème des valeurs intermédiaires.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- fonction continue en un point
- Une fonction f telle que limx ⟶ a f(x) = f(a) : sa courbe ne présente pas de saut en a.
- dichotomie
- Un algorithme qui coupe en deux, à chaque étape, l'intervalle contenant une solution — en gardant la moitié où le signe de f change.
- point fixe
- Pour une fonction f, un réel 𝓁 tel que f(𝓁) = 𝓁 : la limite d'une suite uₙ₊₁ = f(uₙ), si elle existe et que f est continue, est toujours un point fixe de f.
Ce qu'on sait
- Toute fonction dérivable en un point y est continue — mais la réciproque est fausse (la valeur absolue est continue en 0 sans y être dérivable).
- Théorème des valeurs intermédiaires : si f est continue sur [a ; b] et que f(a) et f(b) sont de signes opposés, alors l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans ]a ; b[.
- Si de plus f est strictement monotone sur [a ; b], cette solution est UNIQUE.
- Si (uₙ) converge vers 𝓁 et que f est continue en 𝓁, alors la suite (f(uₙ)) converge vers f(𝓁).
La méthode, étape par étape
1.Je vérifie que f est bien continue sur l'intervalle étudié : c'est une hypothèse indispensable du théorème.
2.Je calcule f(a) et f(b), et je vérifie qu'ils sont de signes opposés (ou que k est compris entre les deux, pour une équation f(x) = k).
3.J'invoque le théorème des valeurs intermédiaires pour affirmer l'existence d'une solution dans ]a ; b[.
4.Si f est en plus strictement monotone sur cet intervalle, j'ajoute que cette solution est unique.
5.Pour une suite uₙ₊₁ = f(uₙ) qui converge, sa limite 𝓁 vérifie l'équation du point fixe : Pour une fonction f, un réel 𝓁 tel que f(𝓁) = 𝓁 : la limite d'une suite uₙ₊₁ = f(uₙ), si elle existe et que f est continue, est toujours un point fixe de f. 𝓁 = f(𝓁).
f continue sur [a ; b], f(a) et f(b) de signes opposés ⟹ f(x) = 0 a une solution dans ]a ; b[ (unique si f strictement monotone).
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Pour f(x) = x³ − 2x − 1, f(1) = −2 et f(2) = 3 sont de signes opposés.
2.f est continue sur [1 ; 2] : il existe donc une solution de f(x) = 0 dans ]1 ; 2[.