Analyse · Tle
Limites de fonctions
Une limite en +∞, en −∞ ou en un point se lit directement sur la courbe : une asymptote horizontale ou verticale en est la trace.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- asymptote parallèle à un axe
- Une droite horizontale (y = 𝓁, quand la limite en l'infini vaut 𝓁) ou verticale (x = a, quand la limite en a est infinie) dont la courbe se rapproche indéfiniment.
- forme indéterminée
- Une situation (« +∞ − ∞ », entre autres) où la limite ne se lit pas directement à partir des limites de chaque terme : il faut transformer l'expression avant de conclure.
- croissance comparée
- En +∞, la fonction exponentielle l'emporte toujours sur n'importe quelle puissance de x ; en −∞, c'est l'inverse : x fois une puissance de x l'emporte, sauf multiplié par eˣ qui écrase tout.
Ce qu'on sait
- Une limite finie 𝓁 en +∞ (ou en −∞) correspond à une asymptote horizontale d'équation y = 𝓁.
- Une limite infinie en un point a correspond à une asymptote verticale d'équation x = a.
- croissance comparée : En +∞, la fonction exponentielle l'emporte toujours sur n'importe quelle puissance de x ; en −∞, c'est l'inverse : x fois une puissance de x l'emporte, sauf multiplié par eˣ qui écrase tout. : en +∞, xⁿ / eˣ tend vers 0, quel que soit l'entier n.
- Une forme indéterminée : Une situation (« +∞ − ∞ », entre autres) où la limite ne se lit pas directement à partir des limites de chaque terme : il faut transformer l'expression avant de conclure. ne se tranche jamais à vue : je dois d'abord factoriser, développer ou multiplier par une quantité conjuguée.
La méthode, étape par étape
1.Je repère la forme de la limite : directe, opération sur des limites usuelles, ou forme indéterminée.
2.Pour une fraction rationnelle en l'infini, je factorise le terme prépondérant au numérateur et au dénominateur.
3.Pour une forme indéterminée « +∞ − ∞ » avec une racine carrée, je multiplie par la quantité conjuguée.
4.Pour une croissance comparée, je compare la vitesse de croissance de l'exponentielle à celle d'une puissance de x : l'exponentielle l'emporte toujours en +∞.
5.Je traduis enfin la limite trouvée en asymptote, si la question le demande.
Limite finie en l'infini → asymptote horizontale ; limite infinie en un point → asymptote verticale ; forme indéterminée → toujours transformer avant de conclure.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Pour f(x) = √(x² + 1) − x, la forme est « +∞ − ∞ » : je multiplie par la quantité conjuguée.
2.f(x) = (x² + 1 − x²) / (√(x² + 1) + x) = 1 / (√(x² + 1) + x).
3.Le dénominateur tend vers +∞, donc f(x) tend vers 0 en +∞.