Probabilités · 2e Bac SE
Variables aléatoires et loi binomiale
Un jeu de points, un tir au but répété : la variable aléatoire : Une fonction qui associe un nombre à chaque issue d'une expérience aléatoire. résume l'expérience en un nombre, et la loi binomiale : La loi du nombre de succès dans n épreuves indépendantes à deux issues, de probabilité de succès p : B(n ; p). décrit les répétitions.
Le vocabulaire à connaître
- variable aléatoire
- Une fonction qui associe un nombre à chaque issue d'une expérience aléatoire.
- espérance
- La valeur moyenne attendue : E(X) = Σ xᵢ P(X = xᵢ).
- loi binomiale
- La loi du nombre de succès dans n épreuves indépendantes à deux issues, de probabilité de succès p : B(n ; p).
Ce qu'on sait
- La somme des probabilités d'une loi vaut 1. Variance : V(X) = E(X²) − (E(X))² ; écart type : σ(X) = √V(X).
- Pour X ~ B(n ; p) : P(X = k) = Cₙᵏ pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
- E(X) = n p et V(X) = n p (1 − p).
La méthode, étape par étape
1.Je liste les valeurs de X et je calcule chaque probabilité, en vérifiant que le total vaut 1.
2.Je calcule E(X), puis E(X²), puis la variance.
3.Pour une loi binomiale, je vérifie les trois conditions : épreuves identiques, indépendantes, à deux issues.
4.J'applique la formule de P(X = k) ; pour « au moins un », je passe par l'événement contraire.
X suit B(n ; p) : E(X) = np, V(X) = np(1 − p).
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.X suit B(50 ; 0,2).
2.E(X) = 50 × 0,2 = 10.
3.V(X) = 10 × 0,8 = 8.
4.L'écart type vaut √8 = 2√2.