Analyse · 2e Bac SE

Limites de suites, convergence et point fixe

Où va une suite quand n devient immense ? Quelques limites à connaître et deux critères suffisent à répondre.

Le vocabulaire à connaître

suite convergente: Une suite qui se rapproche d'un réel L à mesure que n grandit ; sinon elle est divergente.
majorée, minorée: Majorée : tous les termes sont inférieurs à un réel M. Minorée : tous les termes sont supérieurs à un réel m.
suite stable: Si f envoie l'intervalle I dans lui-même, tous les termes de uₙ₊₁ = f(uₙ) restent dans I.

Limites de référence : n, n², √n tendent vers +∞ ; 1/n, 1/n², 1/√n tendent vers 0 ; qⁿ tend vers 0 si q est entre −1 et 1, vers +∞ si q dépasse 1.
Une suite croissante et majorée converge ; une suite décroissante et minorée converge.
Si uₙ₊₁ = f(uₙ) avec f continue et si (uₙ) converge vers L, alors L = f(L).

1.Je reconnais les limites de référence et j'applique les opérations (somme, produit, quotient).

2.En cas de forme indéterminée, je factorise par le terme dominant.

3.Pour une suite uₙ₊₁ = f(uₙ), je vérifie que f est continue et que l'intervalle I est stable.

4.Je montre la monotonie et le caractère borné, donc la convergence, puis je résous L = f(L) en gardant la solution dans I.

Croissante et majorée (ou décroissante et minorée) implique convergente ; la limite L vérifie L = f(L).

C.Q.F.D.

1.Soit uₙ₊₁ = √(uₙ + 12) avec u₀ = 0, qui reste dans [0 ; 4].

2.Si (uₙ) converge vers L, alors L = √(L + 12), donc L² = L + 12.

3.Les solutions de L² − L − 12 = 0 sont 4 et −3.

4.La suite est positive, donc L = 4 : on vérifie √(4 + 12) = √16 = 4.