Analyse · 2e Bac SE

Primitives : formes usuelles et reconnaissance

Remonter de la dérivée à la fonction : c'est ce qui permet ensuite de calculer des aires.

Le vocabulaire à connaître

primitive: Une fonction F dérivable dont la dérivée est f : F′ = f. Deux primitives de f diffèrent d'une constante.
forme composée: Une fonction de la forme u′ uⁿ, u′/u ou u′ eᵘ, où u est dérivable.

usuelles : xⁿ a pour primitive xⁿ⁺¹/(n + 1) (n différent de −1) ; 1/x a pour primitive ln(x) ; eˣ a pour primitive eˣ.
cos a pour primitive sin ; sin a pour primitive −cos.
: u′uⁿ → uⁿ⁺¹/(n + 1) ; u′/u → ln|u| ; u′eᵘ → eᵘ ; u′/√u → 2√u.

1.Je repère la forme : somme de puissances, ou composée de type u′ × (quelque chose de u).

2.J'identifie u et je vérifie que u′ apparaît bien (au coefficient près).

3.J'écris la primitive de la forme reconnue, en ajustant le coefficient.

4.Je dérive mon résultat pour contrôler que je retrouve f.

Une primitive F vérifie F′ = f ; on la contrôle toujours en dérivant.

C.Q.F.D.

1.Je cherche une primitive de f(x) = 3x²(x³ + 1)⁴.

2.Je reconnais u′uⁿ avec u(x) = x³ + 1, u′(x) = 3x² et n = 4.

3.Une primitive est (x³ + 1)⁵/5.

4.Contrôle : 5 × 1/5 = 1, donc la dérivée est bien 3x²(x³ + 1)⁴.