Analyse · 2e Bac SE

Calcul intégral : primitives, parties, aires et volumes

Une aire entre deux courbes, le volume d'un vase tourné sur un tour : l' mesure tout cela.

Le vocabulaire à connaître

intégrale: Le nombre ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), où F est une primitive de f sur [a ; b].
valeur moyenne: Le nombre (1/(b − a)) ∫ₐᵇ f(x) dx.
intégration par parties: La formule ∫ₐᵇ u v′ = [u v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u′ v, quand u et v sont dérivables à dérivées continues.

Chasles : ∫ₐᶜ f = ∫ₐᵇ f + ∫ᵇᶜ f ; linéarité : ∫(λf + g) = λ∫f + ∫g ; si f est positive, l'intégrale est positive.
Aire entre deux courbes (f au-dessus de g) sur [a ; b] : ∫ₐᵇ (f − g) en unités d'aire.
Volume engendré par la rotation de la courbe de f autour de l'axe des abscisses : V = π ∫ₐᵇ (f(x))² dx.

1.Je repère la bonne technique : primitive directe, ou pour un produit comme x eˣ ou x ln(x).

2.Pour une aire, je détermine quelle courbe est au-dessus sur l'intervalle, puis j'intègre la différence.

3.Pour un volume, j'élève f au carré, j'intègre, puis je multiplie par π.

4.Je calcule F(b) − F(a) et je vérifie le signe et l'ordre de grandeur.

Aire : ∫ₐᵇ (f − g) ; volume : π ∫ₐᵇ f².

C.Q.F.D.

1.Aire entre f(x) = 4 et g(x) = x² sur [−2 ; 2].

2.Primitive de 4 − x² : 4x − x³/3.

3.En 2 : 8 − 8/3 = 16/3 ; en −2 : −8 + 8/3 = −16/3.

4.L'aire vaut 16/3 − (−16/3) = 32/3 unités d'aire.